4-3泰勒公式09[1].10.29

第三节

泰勒公式

一、泰勒（Taylor）公式 泰勒（ ） 麦克劳林（ 二 、麦克劳林（Maclaurin）公式 ）

三 、泰勒公式的应用

一、泰勒(Taylor)公式 泰勒 公式

1. 泰勒公式的建立 回顾： 回顾：设 f (x)在 x0 处可导，则 在 处可导，

x 的一次 多项式

f (x)≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) p1( x)

(当f ′( x0 ) ≠ 0, 且 x x0 << 1 ) 时

[ f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + o( x x0 )]

特点: 特点

= f ( x0 )

= f ′( x0 )

不足: 1° 精确度不高 不足: °

只适用于x x0 很小的 , x

, . 当x x0 不是很小时 误差较大

2° 难以估计误差 °

只知道误差： R 只知道误差： 1( x) = o( x x0 )

R . 不能具体估计出误差 1( x)的大小

需要解决的问题: 需要解决的问题 1°寻找多项式 n( x)，使得 ° p

f ( x) ≈ pn( x),

且去掉对于x x0 很小的限制 .

2° 给出误差： ° 给出误差：

Rn( x) = f ( x) pn( x)

的具体估计式. 的具体估计式

pn(x) 的确定 的确定:

pn(x) = a0+ a1( x x0 ) + a2( x x0 )2 + L+ an( x x0 )n,

观察： 观察： f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + o( x x0 ) 有

= f ( x0 )

p1( x)

= f ′( x0 )

猜 pn(x) 中的系数应是什么？ 中的系数应是什么？

寻求n次近似多项式： 寻求 次近似多项式： 次近似多项式

pn(x) =a0+ a1( x x0 ) + a2( x x0 )2 + L+ an( x x0 )n,

求系数 ai :

a0 = pn( x0 ) = f ( x0 ),

p′ (x) = a1 + 2a2( x x0 ) + L+ nan( x x0 )n 1 n

′ a1 = pn( x0 ) = f ′( x0 ),

′ pn(x) = a1+ 2a2( x x0 )+ L+ nan( x x0 )n 1 ′′ pn(x) = 2 !a2+ L+ n(n 1)an( x x0 )n 2 1 1 ′′ a2 = pn( x0 ) = f ′′( x0 ), 2! 2! ( pnn)( x) = n!an 1 (n) 1 (n) an = pn ( x0 ) = f ( x0 ), n! n!

pn(x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) 1 1 (n) n 2 ′′( x0 )( x x0 ) + L + f + f ( x0 )( x x0 ) . 2! n! f ( x)在x0处的n阶泰勒多项式

记 Rn(x)

= f (x) P (x) 称为余项 n

2. 带皮亚诺型余项的 阶泰勒 带皮亚诺型余项的n阶泰勒 阶泰勒(Taylor)公式 公式 定理3.6 定理 的某个领域内有定义， 的某个领域内有定义， 且 具有直到 阶的导数 则 阶的导数, f ′′( x0 ) f (x0 )+ f ′( x0 )( x x0 ) + (x ( x x0 )2 + L 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 )n + o(( x x0 )n ). + n! 其中 Rn(x) = o((x x0 )n ). 带皮亚诺型余项的n 带皮亚诺型余项的 阶泰勒公式 若 在

3. 带拉格朗日型余项的 阶泰勒 带拉格朗日型余项的n阶泰勒 阶泰勒(Taylor)公式 公式 定理3.7 定理 阶的导数, 直到 n +1 阶的导数 则对 x∈(a , b), 有 ∈ f ′′( x0 ) f ( x0 ) + f ′( x0 )( x x0 ) + ( x x0 )2+ L 2! f (n) ( x0 ) ( x x0 )n + Rn(x), + n! f (n+1)(ξ ) ). Rn( x) = ( x x0 )n+1(ξ 在 x0 与x 之间 其中 (n + 1) ! 带拉格朗日型余项的n 带拉格朗日型余项的 阶泰勒公式

注 1° 泰勒公式的余项估