不等式中的取值范围的求法

不等式中的取值的范围求法

不等式是高中数学的重要内容，与各部分联系紧密，是历年高考的命题重点，在考查不等式的命题中以求取值范围问题居多，解决此类问题的方法体现了等价转换、函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。 1、 不等式的性质法

利用不等式的基本性质，注意性质运用的前提条件。

2

例1：已知f(x) ax c，且 4 f(1) 1， 1 f(2) 5，试求f(3)的取值范围。

解：由

f(1) a c f(2) 4a c

1 a f(2) f(1) 3

解得

1 c f(2) 4f(1) 3

f(3) 9a c 1 f(2) 5，

83 835353

f(2)

83

f(2)

53

f(1)

403203

53f(1)

403 203，

4 f(1) 1， 53 83

f(1) 83

f(2)

即 1 f(3) 20

评：解此类题常见的错误是：依题意得

4 a c 1

（1）（2）

1 4a c 5

用（1）（2）进行加减消元，得

0 a 3，1 c 7（3）

由f(3) 9a c得 7 f(3) 27

其错误原因在于由（1）（2）得（3）时，不是等价变形，使范围越加越大。 2、 转换主元法

确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。

例2：若不等式 2x－1>m(x2-1)对满足－2 m 2的所有m都成立，求x的取值范围。

解：原不等式化为 (x2－1)m－(2x－1)<0 记f(m)= (x2－1)m－(2x－1) (－2 m 2)

2

f(-2) -2(x-1)-(2x-1) 0

根据题意有：

2

f(2) 2(x-1)-(2x-1) 0

2x

即：

2x

22

2x-3 0 2x-1 0

解得

1 72

x

1 32

所以x

的取值范围为(

1

2

1

,

2

3、化归二次函数法

根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。 例3：在R上定义运算 ：x y＝(1－y) 若不等式(x－a) (x＋a)<1对任意实数x成立，则 ( )

(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C)

12

32

a

(D)

32

a

12

解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x成立

即x2 x a2 a 1 0对x R恒成立

记f(x) x2 x a2 a 1

则应满足 0 即：4a2 4a 3 0

12

32

解得

a

,故选择C。

例4：若不等式

x 8x 20mx mx 1

2

2

0对一切x恒成立，求实数m的取值范围。

解：由x2 8x 20 (x 4)2 4 0，知原不等式恒成立等价于mx2 mx 1 0恒成立，那么

1 当m 0时， 1 0，不等式成立；

2

2 当m 0时，要使不等式mx mx 1 0恒成立，

m 0

应有 2

m 4m 0

解得 4 m 0

综上所述：m的取值范围为( 4,0)

评：二次项系数含有参数时，要对参数进行讨论等于零是否成立。 4、反解参数法

在题目中反解出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>fmax(x) （a<fmin(x)）求出参数范围。

例5：若不等式x2 2mx 1 0对一切1 x 3恒成立，求m的取值范围。

1x

解：因为1 x 3，所以x2 2mx 1 0可转化成2m x

1x

所以要使原不等式恒成立，则需2m小于x

1x

的最小值，

令y x ，则此函数在1 x 3时为增函数，

1x

所以y x 1 1 0

所以2m 0，即m 0，故m的取值范围为( ,0) 评：本题也可利用方法3和方法5求解。 例6：已知函数f(x)

1a 2x(x 0)

，若f(x) 2x 0在(0, )上恒成立，求a的取值范围。

解：若f(x) 2x 0在(0, )上恒成立，

1a

2x1x

1a

1x

即

2x 0

，

2(x )

2(x

1a

)x(

0)的最小值为4，

4，解得a 0或a

14

所以a的取值范围为( ,0) , 。

4

1

5、 数形结合法

运用数形结合，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，简化了解题过程，在选择和填空中更显其优越。

例7：如果对任意实数x，不等式x 1 kx恒成立，则实数k的取值范围是0 k 1

解析：画出y1=x 1,y2=kx的图像，由图可看出 0 k 1

由于不等式的综合性和灵活性，一道题往往有多种解法，所以要根据题目的情况，选择恰当的方法，不要拘泥一种形式，要灵活多变。