_第3讲可降阶的高阶微分方程

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高等院校非数学类本科数学课程

大 学 数 学 (一 )—— 一元微积分学第三讲 可降阶的高阶微分方程

脚本编写：彭亚新

教案制作：彭亚新

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第七章 常微分方程本章学习要求：了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利(Bernoulli)方程。 熟练掌 握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法： (n) ′′ = f ( x, y ′), y ′′ = f ( y , y ′), y = f ( x). y 了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐次 线性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐次线性微分 方程的解法.

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第三节 几种可降阶的高阶常微分方程二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。 二阶和二阶以上的微分方程，称为高阶微分方程。 通过变量代换将高阶方程转化为较低阶的微 分方程进行求解的方法，称为“降阶法” 分方程进行求解的方法，称为“降阶法”。 “降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。 降阶法”是解高阶方程常用的方法之一。 降阶法

1. y ( n ) = f ( x) 型3. y′′ = f ( y, y′) 型

2. y ( n ) = f ( x, y ( n 1) ) 型4. 克莱罗( Clairaut ) 方程

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1. y ( n ) = f ( x) 型 令 u = y ( n 1),则原方程化为 du = f ( x) 。 dx这是变量可分离的方程，两边积分， 这是变量可分离的方程，两边积分，得u = ∫ f ( x) d x + C1 = ( x) + C1 ,

即

是 (n) y ( n 1) = ( x) + C1 。 仍 y = f (x) 型只需连续进行 n 次积分即可求解这类方程，但请注意： 次积分即可求解这类方程，但请注意： 每次积分都应该出现一个积分常数。 每次积分都应该出现一个积分常数。

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例解

的通解。 求方程 y′′′ = ln x 的通解。

得到所求的通解： 对方程两边关于 x 连续积分 3 次，得到所求的通解：y′′ = ∫ ln x d x = x ln x x + C1, y′ = ∫ ( x ln x x + C1 ) d x ln x 3 =x + C1 x + C2, 2 4 2

2 ln x 3 + C1 x + C2 d x y = ∫ x 2 4

1 3 11 3 C1 2 = x ln x x + x + C2 x + C3 。 6 36 2

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例解

的通解。 求方程 y ( n ) = 1 的通解。

得到所求的通解： 对方程两边关于 x 连续积分 n 次，得到所求的通解：y ( n 1) = x + C1 ,

y

( n 2)

1 2 = x + C1 x + C2 , 2

1 3 1 y = x + C1 x 2 + C2 x + C3 , 3! 2! LLLLLLLL 1 1 n 1 ′= y x + C1 x n 2 + L + Cn 2 x + Cn 1 , (n 1) ! ( n 2) !( n 3)

y=

1 n 1 x + C1 x n 1 + L + Cn

1 x + Cn 。 n! (n 1) !

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2. y ( n ) = f ( x, y ( n 1) ) 型

缺y

令 p = y ( n 1),则原方程化为dp = f ( x, p ) 。 dx 这是一个一阶微分方程。 这是一个一阶微分方程。设其通解为p = ( x, C1 ) ,

型的方程： 这是一个 y ( n ) = f ( x) 型的方程： y ( n 1) = ( x, C1 ) ,连续积分即可求解。 连续积分即可求解。

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例解

求方程 ( 1 + x 2 ) y′′ = 2 xy′ 满足条件 y x =0 = 1,y′ x =0 = 3 解。令 p = y′,则原方程化为 d p 2x d x = , 2 p 1+ x

两边积分， 两边积分，得

p = C1 ( 1 + x 2 ) ,

dy = C1 ( 1 + x 2 ) , 即 dx 再积分， 再积分，得原方程的通解 1 3 y = ∫ C1 ( 1 + x ) d x = C1 ( x + x ) + C2 。 3 = 1,y′ x =0 = 3 代入，得 C1 = 3 , C2 = 1。 代入，2

以条件 y x =0

故所求特解为

y = x 3 + 3 x + 1。

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例解

求方程 x y ( 5) y ( 4 ) = 0 的通解。

令 p = y ( 4 ),则原方程化为 dp x p = 0, dx 分离变量， 分离变量，得 d p dx = , p x 积分， 积分，得y ( 4 ) = p = Cx , y ( n ) = f ( x) 型

连续积分 4 次，得原方程的通解为 C y = C1 x + C2 x + C3 x + C4 x + C5 , ( C1 = )。 1205 3 2

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3. y′′ = f ( y, y′) 型

缺xdp dpdy dp = =p 。 dx dy dx dy

令 p = y′ ,则 y′′ =

于是， 于是，原方程化为

dp p = f ( y, p )。 dy这是一个一阶微分方程。 这是一个一阶微分方程。设其通解为 dy = p = ( y, C1 ) 。 dx 这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。 这是一个变量分离方程，它的通解就是原方程的通解。

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例

求方程 yy′′ y′2 0 的通解 。 =

dp 解 令 p = y′ ,则 y′′ = p 。 dy dp yp p2 = 0 。 于是， 于是，原方程化为 dy dy = 0 ,故此时有解 y = C 。 若 p = 0 ,则 dx dp dy = 。 若 p ≠ 0 ,则原方程化为 p y dy p = 0 对应于 C1 = 0 = p = C1 y 。 两边积分，得 两边积分， dx y = C2 eC1x。 运用分离变量法， 运用分离变量法，得此方程的通解为综上所述， 综上所述，原方程的通解为y = C2 eC1x。

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4. 克莱罗( Clairaut ) 方程 形如

y = x y′ + f ( y′)

的方程称为克莱罗方程， 为可微函数。 的方程称为克莱罗方程，其中函数 f 为可微函数。 可以直接写出该方程的通解： 可以直接写出该方程的通解： y = C x + f (C ) 。 并且由下列方程组可求得该方程的奇解： 并且由下列方程组可求得该方程的奇解：

x + f ′( y′ …… 此处隐藏：1587字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……