2004年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷

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2004年（宇振杯）上海市初中数学竞赛试卷

一． 填空题：(本大题10小题，前5题每题6分，后5题每题8分，共70分)

1、 若关于x的二次方程x2+(3a-1)x+a+8=0有两个不相等的实根x1、x2，且x1＜1，x2＞1，则实数a的取值范围为

2、 方程123 3的解是 5 x4 x3 x

3、 一个二位数的两个数字之积是这二位数两个数字之和的2倍；又若这二位数加上9，则得到的和恰好是原二位数的个位数与十位数交换位置后的数的2倍；原二位数是

4、 如图，△ABC中，CD、CE分别是AB边上高和中线，CE＝BE＝1，又CE的中垂线过点B，且交AC于点F，则CD＋BF的长为

5、 如图，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角边YZ＝1，XZ＝2，则六边形ABCDEF的面积为

6、 如图，正方形纸片ABCD的面积为1，点M、N分别在AD、BC上，且AM＝BN＝2，5将点C折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ(Q在CD上)，连PQ，则以PQ为边长的正方形面积为

Q

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7、 三个不同的正整数a、b、c，使a+b+c=133,且任意两个数的和都是完全平方数，则a、b、

c是

8、 若实数a、b、c、d满足a2+b2+c2+d2=10，则y=(a-b) 2+(a-c) 2+(a-d) 2+(b-c) 2+(b-d) 2+(c-d) 2

的最大值是 9、 已知实系数一元二次方程ax 2bx c 0有两个实根x1、x2，若a>b>c，

且a＋b＋c＝0，则d x1 x2的取值范围为

10、 如图，△ABC中，AB＝CD，点P、Q分别在AC、AB上，且AP＝

PQ＝QB＝BC，则∠A的大小是

二、(本题16分)

如图PQMN是平行四边形ABCD的内接四边形

(1) 若MP∥BC或NQ∥AB，求证：SPQMN

(2) 若SPQMN

2

1S ABCD； 21S ABCD，问是否能推出MP∥BC或NQ∥AB？证明你的结论. 2

三、(本题16分)

222设n是正整数，d1 d2 d3 d4是n的四个最小的正整数约数，若n= d12 d2， d3 d4

求n的值.

四、(本题18分)

如图，已知△ABC，且S△ABC＝1，D、E分别是AB、AC上的动点，BD与CE相交于点P，使SBCDE＝16S△BPC，求S△DEP的最大值. 9