高中数学必修五第二章数列 复习课件

知识 结构数列

通项an

S1 (n 1) an S n S n 1 (n 2)

前n项和Sn 定义 等比数列 通项 前n项和

等差数列性质

等差、等比数列的有关概念和公式等 差 数 列 等 比 数 列 定义 a -a =d(常数) , n∈N* a /a =q(常数), n∈N* n+1 n n+1 n 通项 公式 中项 公式an= a1+(n-1)d 若a,A,b成等差 数列，则 A=(a+b)/2 an=a1qn-1(a1,q≠0) 若a,G,b成等比数列， 则G2=ab(a,b≠0)

n( a1 an ) na1 Sn 2 前n项 Sn a1 (1 q n ) a1 anq n( n 1) 和公 na1 1 q 1 q d 2

(q 1) (q 1)

式

判断(或证明)数列为等差数列的方法：

方法一(定义法) an + 1 -an = d 或 an -an-1 = d (n≥2)

方法二(等差中项法) an+1 +an-1 = 2an

(n≥2)

等差数列与等比数列前n项和

n(a1 an ) n(n 1) na1 d 1、等差数列： Sn 2 2

na1 Sn a1 (1 q n ) a1 anq 2、等比数列： 1 q 1 q

(q 1) (q 1)

注意公式的变形应用n 如：等差数列的前 项和公式：

n(a1 a n ) n(a 2 a n 1 ) n(a m a n m 1 ) Sn 2 2 2 n( n 1)d d 2 d S n na1 n (a1 ) n an 2 bn 2 2 2n 等比数列的前 项和公式：

a1 a m q n m 1 a1 (1 q n ) a1 a n q a1 a n 1 q 2 Sn (q 1) 1 q 1 q 1 q 1 q

an am (1) an am n m d d n m (2)若 m n p q 2k 则 am an a p aq 2ak(3)若数列 {an } 是等差数列，则 也是等差数列

等差数列的重要性质

Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k , d k d2

(4){an}等差数列，其项数成等差数列，则相应 的项构成等差数列

等差数列的重要性质5)对于等差数列{ an }:若项数为 2 n 则 S 偶 S 奇 nd

若项数为 2 n 1 则 S 奇 S 偶 a n (中间项)

S奇 n S偶 n 1

(1) an am q an n m 求q q am 若 (2) m n p q 2k , 则am an ap aq(3)若数列 {an } 是等比数列，则 也是等比数列相应的项构成等比数列

等比数列的重要性质n m

Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k ,

q q

k

(4){an}等比数列，若其项数成等差数列，则

等比数列的重要性质5)在等比数列中，若项数为2n,则 S偶 S奇 q

牛刀小试110 ⒈在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54,求a8=_____. 运用性质： an=am+(n-m)d或等差中项 ⒉在等差数列{a n }中， 若 a 3 +a 4+a 5+a 6+a 7=450, 则 180 a2+a8的值为_________. 运用性质： 若n+m=p+q则am+an=ap+aq ⒊在等差数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 130 a60 =__________. 运用性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)k

k

⒋在等差数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4

=120, 则 210 a5+a6=_____ .

运用性质：若{an}是公差为d的等差数列 {cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。

牛刀小试 ⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54,a8= -1458 . ⒉在等比数列{an}中，且an>0,

a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ 6 . ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 270或-270 a60 =__________.

⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____ .

练习：两个等差数列{ an }、{ bn }的前 n 项之和分别为

S n 3n 5 a15 ,则 _______。 Sn , S , 且 / b15 S n 2n 7 n(a1 a n ) / n(b1 bn ) , Sn 解: S n 2 2 a1 an 3n 5 ∴ b1 bn 2 n 7 令 n 29, a1 a 29 82 则有： b1 b29 65/ n

a1 a 29 a15 而 b1 b29 b15

a15 82 ∴ b15 65

专题一：一般数列求和法常见的求和公式

n Sn 1 2 3 n ( n 1) 21 Sn 1 2 3 n n(n 1)(2n 1) 62 2 2 2

1 2 Sn 1 2 3 n [ n(n 1)] 23 3 3 3

专题一：一般数列求和法①倒序相加法求和，如an=3n+1 ②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n ③分组法求和， 如an=2n+3n

④裂项相加法求和，如an=1/n(n+1) ⑤公式法求和， 如an=2n2-5n

一、倒序相加法例1: 已知f ( x) f (1 x) 1 ,1 2 3 1999 求f ( ) f ( ) f ( ) ... f ( )的值. 2000 2000 2000 2000 解： S f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 1000 ) f ( 1998 ) f ( 1999 ) 2000 2000 2000 2000 2000 1999 1998 1000 2 1 S f( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 2000 2000 2000 2000 2000 1 1999 2 1998 S S f( ) f ( ) f ( ) f ( ) 2000 2000 2000 2000

1 1999 f ( ) f ( ) 2000 2000 1 1999

1999 S 2