常微分方程中的几种非线性方程的解法1

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2015年度本科生毕业论文（设计）

常微分方程中几种非线性方程的解法

教 学 系： 数学学院

专 业： 数学与应用数学

年 级： 2011级

姓 名： 杨艺芳

学 号： 20110701011053

导师及职称： 刘常福 教授

2015年5月

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毕业论文（设计）原创性声明

本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。

作者签名： 日期：

毕业论文（设计）授权使用说明

本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。

作者签名： 指导教师签名：

日期： 日期：

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杨艺芳 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单

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摘 要

非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。

关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解

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英文

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目 录

一、引言 ····························· 1

二、线性微分方程与非线性微分方程的区别 ·············· 1

2.1 线性微分方程 ······················· 1

2.2 非线性微分方程 ······················ 1

三、非线性微分方程的解法 ····················· 2

3.1 利用初等积分与引入新变量法 ················ 2

3.1.2 形如F y,y,...,y 0型的方程 ············ 3

3.1.3 形如F x,y,...,y 0型的方程 ············ 4 3.1.1 形如Fx,y n 0型的方程分的两种情形 ········ 2 'n'n

3.2 首次积分法 ························ 4

3.3 常数变易法 ························ 5

3.3.1 引用定理3.1 ···················· 5

3.3.2 形如dyy y g 型的方程 ·············· 6 dxx x

3.3.3 形如y' P x ey Q x 型的方程 ············ 6

3.3.4 形如y' xy x型的方程 ··············· 7 y

3.4 可化为线性方程法 ····················· 7

3.4.1 通过变换方程化为线性方程的方程 ··········· 7

3.4.2 通过求导运算化为线性的方程 ············· 8

3.4.3 伯努利方程 ····················· 8

3.4.4 黎卡提方程 ····················· 8

3.4.5 二阶非线性方程F x,y,y',y'' 0或y'' f x,y,y' 型 ··· 9

四、结束语 ························
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