教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.2 2.2.2 间接证明

教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.2 2.2.2 间接证明

小学+初中+高中

小学+初中+高中 2．2.2 间 接 证 明

1．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？

提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．

2．已知正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2.求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．

问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？

提示：不能．

问题2：a 、b 、c 不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a 2＋b 2＝c 2吗？

提示：都是奇数．若a 、b 、c 都是奇数，则不能满足条件a 2＋b 2＝c 2

.

1．间接证明 不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．

2．反证法

(1)反证法证明过程 反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用下面的框图表示：

导致逻辑矛盾

“若p 则q ”为真

(2)反证法证明命题“若p 则q ”的步骤 ①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．

②归谬

——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果． ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．

1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．

2．可能出现矛盾的四种情况：

(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．

教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.2 2.2.2 间接证明

小学+初中+高中

小学+初中+高中 [对应学生用书P30]

[例1] 锐角三角形．

[思路点拨] 本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．

[

精解详析] 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A 、B 、

C 、

D ，考虑△ABC ，点D 的位置分为在△ABC 之内或之外两种情况．

(1)如果点D 在△ABC 之内(如图(1))，根据假设围绕点D 的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．

(2)如果点D 在△ABC 之外(如图(2))，根据假设∠A ，∠B ，∠C ，∠D 都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．

综上所述．原结论成立．

[一点通] (1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．

(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯

定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．

1．实数a 、b 、c 不全为0等价于________(填序号)．

①a ，b ，c 全不为0；②a ，b ，c 中最多只有一个为0；③a ，b ，c 中只有一个不为0；④a ，b ，c 中至少有一个不为0.

解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．

答案：④

2.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点

M 是A 1D 1的中点，点N 是CD 的中点，用反证法证明直线BM 与直线A 1N 是两条异面直线．

教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第2章 2.2 2.2.2 间接证明

小学+初中+高中

解：假设直线BM与A1N共面．

则A1D1⊂平面A1BND1，

且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，

由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，

又A1D1∥BC，所以BN∥BC.

这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．

所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．

3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．

证明：假设a，b，c成等差数列，

则a＋c＝2b，

即a＋c＋2ac＝4b，

而b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，

所以(a－c)2＝0.即a＝c，

从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，

故a，b，c不成等差数列．

[例2]求证：两条相交直线有且只有一个交点．

[思路点拨]“有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．[精解详析]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．

若直线a，b无交点，

则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．

若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，

这样同时经过点A，B就有两条直线，

这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．

[一点通]证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当小学+初中+高中

教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案 …… 此处隐藏：4233字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……