高中数学必修1(北师版)第二章2-5简单的幂函数知识点总结含同步练习与答案

时间：2026-05-01

高中数学必修1(北师版)第二章2. 5 简单的幂函数知识点总结含同步练习与答案

高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案第二章函数 2. 5简单的幂函数

一、知识清单函数的奇偶性幂函数及其性质

二、知识讲解1.函数的奇偶性描述：奇函数一般地，若函数 y= f (x)的定义域 I关于原点对称，且对定义域 I内的任意一个自变量 x,都有 f ( x)= f (x),那么函数 y= f (x)称为奇函数(even function).偶函数一般地，若函数 y= f (x)的定义域 I关于原点对称，且对定义域 I内的任意一个自变量 x

,都有 f ( x)= f (x),那么函数 y= f (x)称为偶函数(odd function).奇函数和偶函数的图象性质 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. (2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数. (3)由于奇函数 f (x)的图象关于原点对称，当 f (x)的定义域包含原点时，必有 f (0)= 0 .函数的奇偶性与单调性间的关系一般地，若 f (x)为奇函数，则 f (x)在[a, b]和[ b, a]上具有相同的单调性；若 f (x)为偶函数，则 f (x)在[a, b]和[ b, a]上具有相反的单调性.

例题：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)= x

1; x3 (2)f (x)= x 2 3|x|+ 2; 1 x (3)f (x)= (1+ x)√; 1+x (4)f (x)=√1 x 2+√x 2 1; x> 0, x2 2x+ 3, (5)f (x)= 0, x= 0, 2 x 2x 3, x< 0. 1解： (1)f (x)= x 的定义域是 ( ∞, 0)∪ (0,+∞).因为 x3 1 1 1 1是奇函 f ( x)= x ( )= x+= (x )= f (x),所以 f (x)= x 3 3 x x x x3数. (2)函数的定义域是 R,且 f ( x)= f (x),所以 f (x)= x2 3|x|+ 2是偶函数.

1+x

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f ( x)= f (x) f (x)= 3|x|+ 2 1+x (3)由≥ 0,得 1≤ x< 1,所以，函数的定义域是[ 1, 1) .显然，此定义域不关于 1 x 1 x原点对称.所以，函数 f (x)= (1+ x)√是非奇非偶函数. 1+x x2≥ 0,得 x=±1,此时 f (x)= 0,x∈{ 1, 1} .所以 (4)由{ 1 2 x 1≥ 0, f (x)=√1 x2+√x2 1既是奇函数，又是偶函数. (5)(图象法)画出f (x)的图象，观察图象可得函数 f (x)是奇函数.

若函数 y= (x+ 1)(x a)为偶函数，则 a= ( ) A. 2 B. 1 C.1 D.2解：C因为 f (x)为偶函数，定义域为 R,所以 f (1)= f ( 1),即 (1+ 1)(1 a)= ( 1+ 1)( 1 a),所以 a= 1.

已知 f (x)是定义 R在上的奇函数，且当 x> 0时，f (x)= x3+ x+ 1,求 f (x)的解析式.解：设 x< 0,则 x> 0,用 x替换 f (x)= x3+ x+ 1中的 x,得

f ( x)= ( x)3+ ( x)+ 1= x3 x+ 1.又因为 f (x)是奇函数，所以

f (x)= f ( x)= ( x3 x+ 1)= x3+ x 1.又因为 f (x)是定义在 R上的奇函数，所以 f (0)= 0 .综上所述

x3+ x+ 1, f (x)= 0, 3 x+ x 1,

x> 0, x= 0, x< 0.

如果奇函数 f (x)在区间[3, 7]上是增函数且最小值为 5,那么 f (x)在区间[ 7, 3]上是 A.增函数且最小值是 5 B.增函数且最大值是 5 C.减函数且最大值是 5 D.减函数且最小值是 5解：B因为奇函数 f (x)在区间[3, 7]上是增函数，所以 f (x)在[ 7, 3]上也是增函数，且奇函数 f (x)在区间[3, 7]上 f (3)min= 5,则 f (x)在区间[ 7, 3]上有 f ( 3)max= f (3)= 5,故选 B.定义[ 2, 2]在上的偶函数 g(x),当 x 0时，g(x)单调递减，若 g(1 m)< g(m)成立，求 m的取值范围.解：因为 g(x)是偶函数，所以

g(x)= g( x)= g(|x|).

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g(x)= g( x)= g(|x|).即

g(1 m)= g(|1 m|), g(m)= g(|m|)因为当 0 x 2时，g(x)单调递减，所以当 2 x< 0时，g(x)单调递增.由于 g(1 m)< g(m),则

|1 m|>|m|, |1 m| 2, |m| 2,

即

(1 m)2> m 2, 2 m 1 2, 2 m 2,解得

即 1 m<

1 1,所以 m的取值范围是[ 1, ) . 2 2

m< 1, 2 1 m 3, 2 m 2,

2.幂函数及其性质描述：一般地，形如 y= x a的函数叫做幂函数(power function),其中 x是自变量， a是常数.图象

定义域幂函数的定义域都包含 (0,+∞) .性质①幂函数的图象都通过点 (1, 1);②当 a是奇数时，函数 y= x a是奇函数；当 a是偶数时，函数 y= xa是偶函数；③当 a> 0时，函数 y= x a在 (0,+∞)上是单调递增函数；当 a< 0时，函数 y= x a在 (0,+∞)上是单调递减函数；④在第一象限内，当 a< 0时，函数 y= xa的图象向上与 y轴无限接近，向右与 x轴无限接近.

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例题：幂函数 f (x)的图象过点 (4, 1 ),那么 f (8)的值为______.

√2解： . 4

设 f (x)= xα,则 f (4)= 4α=1

1 1 1√2,所以α= .故 f (8)= 8 2= . 2 2 4

已知y= (m 2+ 2m 2)x m 2 1+ 2n 3是幂函数，求 m, n的值.解：因为 y= (m 2+ 2m 2)x m 2 1+ 2n 3是幂函数，所以1

m 2+ 2m 2= 1, m 2 1≠ 0, 2n 3= 0, m= 3, n= 3, 2

解得

所以

m= 3, n= 3 . 2(1)给定一组函数解析式：① y= x 4;② y= x 3;③ y= x 2;④ y= x 3

;⑤3 1 1 3 2 3 2

y= x 2;⑥ y= x 3;⑦y= x 3,及下图中的一组函数图象，请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内.