1-2-1绝对值三角不等式 课件(人教A版选修4-5)

第一讲

不等式和绝对值不等式

二

绝对值不等式

1

绝对值三角不等式

课前预习目标

课堂互动探究

课前预习目标梳理知识 夯实基础

学 习 目 标 1. 理解绝对值的几何意义. 2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义. 3.掌握三个实数的绝对值不等式及应用.

课 前 预 习 1.定理 1 如果 a,b 是实数，那么 |a+b|≤|a|+|b|. 当且仅当________时，等号成立. 在上面的不等式中， 用向量 a, b 分别替换实数 a, b, 当 a, b 不共线时，由向量加法的三角形法则知 a+b,a,b 构成三角 形，因此有向量形式的不等式________.

它的几何意义是三角形的________. 由于定理 1 与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等 式为________. 2.定理 2 如果 a,b,c 是实数，那么|a-c|≤________,当且仅当(a -b)(b-c)≥0 时，等号成立.

答 案

ab≥0

|a+b|<|a|+|b|

两边之和大 |a-

于第三边 b|+|b-c|

绝对值三角不等式

思考探究 1.|a+b|与|a|-|b|,|a -b|与 |a|-|b|及 |a|+|b|分别具有什么 关系？ 提示 |a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.

2.三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的？ 提示 的距离. 数轴上任意一点到两点的距离之和，不小于这两点

名 师 点 拨 1.绝对值三角不等式 (1)定理 1 中|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时，等号成 立.其等号成立有以下四种情形： ①a=0,b∈R;②b=0,a∈R;③a>0 且 b>0;④a<0 且 b<0. 在|a+b|≤|a|+|b|中，若用-b 代换 b,则有|a-b|≤|a|+|- b|=|a|+|b|.又|a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|,故|a|-|b|≤|a-b|.

由此可以得到绝对值三角不等式的完整形式. |a|-|b|≤|a± b|≤|a|+|b|. 也可表示为： ≤|a± |a|-|b| b|≤|a|+|b|.

应用时应注意左、右两边等号成立的条件.该公式的几何 意义是：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于 第三边.故该公式称为“三角不等式”.

(2)绝对值三角不等式的拓展 绝对值三角不等式推广到 n 个实数的形式如下： |a1+a2+ +an|≤|a1|+|a2|+ +|an|(n∈N+), 当且仅当 a1, a2, ,an 同号或 a1,a2, ,an 为 0 时，等号成立.

2.定理 2 如果 a、b、c 是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|.当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时，等号成立. 其实这个不等式仍然是绝对值三角不等式.下面作一种推 广，如果将 a,b,c 换成向量 a,b,c,如下图，可以看出 a- c,a-b,b-c 构成一个三角形.

对于定理 2,同学们不但要记住它的形式，还应注意它的 特点，尤其是它的左边没有字母 b,只有右边才有.还要注意 等号成立的条件(a-b)(b-c)≥0,与以前的不一样.

3.利用绝对值三角不

等式证明不等式 绝对值三角不等式结构优美、构思巧妙，通过它的发现、 证明、应用能够培养学生的探索、推理能力. 用三角不等式放缩，主要用在含有绝对值的表达式中.由 于它有|a± b|,|a|+|b|,± (|a|-|b|),||a|-|b||多种结构形式，因此， 应在熟练的基础上，灵活应用.

课堂互动探究剖析归纳 触类旁通