线性代数知识点全归纳

线性代数考研数三知识点全归纳

线性代数知识点

1、行列式

1.

n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； ji j3.

代数余子式和余子式的关系：Mij ( 1)iAij

Aij ( 1)Mij

4. 设n行列式D：

n(n 1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1 ( 1)

2

D； n(n 1)将D顺时针或逆时针旋转90

，所得行列式为D2，则D2 ( 1)2

D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3 D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4 D；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n 1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ( 1)

2

；

③、上、下三角行列式（ ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积； n(n 1)④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 ( 1)2

；

⑤、拉普拉斯展开式：

AOCB ACOB AB、CABO OA

BC

( 1)m nAB ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n阶行列式A，恒有： E A n

n

( 1)kSk n k，其中Sk为k阶主子式；k 17. 证明A 0的方法：

①、A A； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax 0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A) n； ⑤、证明0是其特征值；

1

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2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

A 0（是非奇异矩阵）；

r(A) n（是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax 0有非零解； b Rn，Ax b总有唯一解； A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为0；

ATA是正定矩阵；

A的行（列）向量组是Rn的一组基； A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n阶矩阵A：AA* A*A AE 无条件恒成立；

3.

(A 1)* (A*) 1(A 1)T (AT) 1(A*)T (AT)* (AB)T BTAT

(AB)* B*A*

(AB) 1 B 1A 1

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A1 若A

A

2

，则：

A s

Ⅰ、A A1A2 As； A 1

1 Ⅱ、A 1

A 12

；

A 1 s

1

②、 AO

A 1O

OB

OB 1 ；（主对角分块）

1

③、 OA B 1

BO

O A

1O ；（副对角分块）

1

1④、 AC A 1 ACB 1

OB

O

B 1 ；（拉普拉斯）

1

⑤、 AO

A 1O

CB B 1CA

1

B 1 ；（拉普拉斯）

2

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3、矩阵的初等变换与线性方程组

E

O

； O m n

1. 一个m n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F r

O

等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A) r(B) A B；

2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、 若(A , E) (E , X)，则A可逆，且X A 1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A 1B，即：(A,B) (E,A 1B)；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax b，如果(A,b) (E,x)，则A可逆，且x A 1b；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

1

②、

r

r

c

2

，左乘矩阵A， 乘A的各行元素；右乘， 乘A的各列元素；

ii

n

1

3

1 1 1

1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j) E(i,j)，例如： 1 ；

1 1

11

④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k)) 1 E(i())，例如： k

k

1 1

1

k1

(k 0)； 1

k k 1 1

1⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k)) 1 E(ij( k))，如： 1 (k 0)；

1 1

1

5. 矩阵秩的基本性质：

①、0 r(Am n) min(m,n)；

②、r(AT) r(A)；

③、若A B，则r(A) r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A) r(PA) r(AQ) r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B)) r(A,B) r(A) r(B)；（※） ⑥、r(A B) r(A) r(B)；（※） ⑦、r(AB) min(r(A),r(B))；（※）

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⑧、如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且AB 0，则：（※） Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX 0解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A) r(B) n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB) r(A) r(B) n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量） 行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

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