概率论与数理统计总复习知识点归纳

经典讲解 习题精讲

概率论与数理统计总 复 习第一章 事件的概率 1.古典概率—乘法原理、排列组合；几何概率—均匀分布 2. 概率的定义： ①非负性；②规范性；③可列可加性。

3. 概率的性质： ①P ( A ) 1 P ( A ) ; P ( Ai ) 1 P ( Ai );i 1 i 1

n

n

②P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB ), P ( A B ) P ( A ) P ( B / A ) . 4.两个概念(对立): A与B互不相容 ←→ AB=φ → P(AB)=0, P(A∪B)=P(A)+P(B) A与B独立←→P(AB)=P(A)P(B)→ P(A)≠0时, P(B/A)=P(B) 5. 两个公式 ③ P(B)

n

P ( A i ) P ( B / A i ) , P ( Ai / B )

P ( Ai ) P ( B / Ai ) P(B)

i 1

经典讲解 习题精讲

例1 设甲、乙、丙三 人的命中率分别为0.3, 0.2,0.1。现三人独立地 A 1 向目标各射击一次，结果 有两次命中目标，试求丙 没有命中目标的概率。

P(Ai)—— 先验概率

A2

........

AnP(Ai /B ) 后验概率

P(B/Ai) P(B )

B 解 记A、B、C分别为甲、乙、丙命中目标，D 为 目标被命中两次. 法一 用条件概率直接求解。P ( D ) P ( AB C A B C A BC ) P ( AB C ) P ( A B C ) P ( A BC )

0 . 3 0 . 2 0 . 9 0 . 3 0 . 8 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0 . 1 =0.092 0 .3 0 .2 0 .9 P( ABC ) P (C D ) 0 . 587 P (C / D ) 0 . 092 P(D ) P(D )

经典讲解 习题精讲

法二 用Bayes公式：P (C) = 0.1, P ( C ) 0 . 9 ;

0.1 C

0.9C

P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,P ( D / C ) 0 .3 * 0 .2 .

0.3*0.8+0.7*0.2

0.3*0.2 D

于是有P (C / D ) P (C ) P ( D / C ) P (C ) P ( D / C ) P (C ) P ( D / C )

0 .9 * 0 .3 * 0 .2 0 .1 * ( 0 .3 * 0 .8 0 .7 * 0 .2 ) 0 .9 * 0 .3 * 0 .2

0 . 587 .

经典讲解 习题精讲

例2 填空(可作图帮助分析)

0.6 (1) 设P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,则P ( AB ) =______ P ( A B ) P ( A ) P ( AB ) 0 . 3 , P ( AB ) 0 . 7 0 . 3 0 . 4

(2) 若A 与B 独立，且A 与B 互不相容，则 min{P(A),P(B)}=____。 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( ) 0 (3) 已知P(A)=0.3,P(B)=0.5。则当A与B相互独立时， 0.65 有P(A∪B)=_____;当A与B不相容时，有P(B-A)=____;当 0.5 0.4 P(A/B)=0.4时，有 P ( A B ) _____ . (P ( A) B )( B )0 . 3 A / B ) 0035 054 0 . 2 P AB P P ( 0 . 5 . . 0 . .

P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( AB ) 0 . 3 0 . 5 0 . 2 0 . 6

P ( A B ) P ( A B ) 1 P ( A B ) 0 .4

经典讲解 习题精讲

第二、三章 随机变量及其分布 1.常用分布 B(n,p),P( ),U[a,b],E( ),N( , 2 ); 二维均匀、二维正态 2.联合分布和边缘分布 p i p ij , f X ( x ) f ( x , y ) d yj

3.概率的计算 (一维或二维C.R.V.:一重或二重积分) 4.随机变量函数的分布① 分布函数法(C.R.V.):F Z ( z ) P { g ( X ) z } f Z ( z ) F Z ( z )FZ ( z ) P { g ( X , Y ) z }

作图、定限再计算、

验证

(注意分段)f Z ( z ) F Z ( z )

g ( x , y ) z G

f ( x , y ) d xd y

② 公式法：f X Y ( z )

独立时

f ( x, z x)dx

f X ( x ) fY ( z x )d x

独立时，Min (X1, X2, …, Xn) 和 Max (X1, X2, …, Xn)的分布。

经典讲解 习题精讲

5 随机变量的独立性

正态分布的线性组合性质(含正态分布可加性)若Xi ~ N( i, i 2), i=1,2,...n, 相互独立，则对任 何实数a1, a2, …, an, 有2 2 aX 1 b ~ N ( a 1 b ,, a ? 1 ) , ?

ai 1

n

i

Xi ~ N(

n

i 1

ai i , ? i i ) a ?2 2 i 1

n

经典讲解 习题精讲

例3 已知X~ f(x),求Y= -X2的概率密度。解 用分布函数法。 y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y ) P(X y) F X ( y ) [1 F X ( y )]

y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1于是Y的概率密度为fY ( y ) f X ( y ) 1 2 ( y ) 1 / 2

1 2

( y )

1 / 2

fX ( y )

1 2

( y )

1 / 2

[ f X ( y ) f X ( y )] , y 0

fY ( y) 0 , y 0

经典讲解 习题精讲

例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为： x y , f ( x, y ) 0, 0 x, y 1 其他

求随机变量Z=X+Y 的密度函数fZ(z)。 解

y

法一(分布函数法):FZ ( z ) P ( Z z ) P ( X Y z )( x y z ) G

10 1 x

f ( x . y ) dxdy

1

1 z 1

z 0

dx 1

z x 0

( x y )dy z / 3 , 0 z 13 2 3

dx

z x

( x y ) d y z ( z 1) / 3, 1 z 2

经典讲解 习题精讲

F Z ( z ) P ( ) 0 , z 0 ; F Z ( z ) P ( ) 1, z 22 z ,0 z 1 ' f Z ( z ) FZ ( z ) z ( 2 z ) , 1 z 2 0 , 其它

0 x 1 法二 (公式法):注意到被积函数的非零区域G为： 0 z x 1 能否用 f Z ( z ) f X ( x ) f Y ( z x ) dx ?

fZ (z)

f ( x , z x ) dx

z 2

z [ x ( z x )] d x z 2 , 0 z 1 0 1 [ x ( z x )] d x z ( 2 z ), 1 z 2 1 z 1 0, 其他 G

x=z-1

x=z1 x

0

经典讲解 习题精讲

第四章 数字特征小结(定义、含义、计算和性质)

1.计算(附表一：六大分布) xi pi E ( X ) i xf ( x ) dx D . R .V C . R .V g ( xi ) pi E ( g ( X )) i g ( x ) f ( x ) dx D . R .V C . R .V

E ( g ( X , Y ))

R2

E(X) , E(Y) , E(XY)g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy , C . R .V .2 2

E(X2) , E(Y2)

D ( X ) E ( X ) E ( X ), Cov ( X , Y ) E ( XY ) EXEY

XY Cov ( X , Y ) /

D ( X ) D (Y …… 此处隐藏：3786字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……