王高雄版《常微分方程》习题解答4.1
时间：2025-06-18
王高雄版《常微分方程》习题解答
习题4.1
1. 设x t 和y t 是区间a t b上的连续函数，证明：如果在区间a t b上有
y t x t
x t y t
常
数或
常数，则x t 和y t 在区间a t b上线形无关。
证明：假设在x t ，y t 在区间a t b上线形相关
则存在不全为零的常数 ， ，使得 x t y t 0 那么不妨设x t 不为零，则有
y t x t
显然
为常数，与题矛盾，即假设不成立x t ，y t 在区间a t b上线形无关
2. 证明非齐线形方程的叠加原理：设x1 t ，x2 t 分别是非齐线形方程
dxdt
n
n
n
a1 t
d
n 1
x
dt
d
n 1
an t x f1 t （1）
dxdt
n
n 1
a1 t
x
dt
n 1
an t x f2 t （2）
n
n 1
的解，则x1 t +x2 t 是方程
dxdt
n
a1 t
dx
dt
n 1
an t x f1 t +f2 t 的解。
证明：由题可知x1 t ，x2 t 分别是方程（1），（2）的解
dx1 t
n
则：
dt
n
n
a1 t
d
n 1
x1 t
n 1
dtd
n 1
an t x1 t f1 t （3）
dx2 t dt
n
a1 t
x2 t
n 1
dt
an t x2 t f2 t （4）
那么由（3）+（4）得：
d
n
x1 t
dt
n
x2 t
a1 t
d
n 1
x1 t
dt
n 1
x2 t
an t x1 t x2 t f1 t +f2 t
王高雄版《常微分方程》习题解答
即x1 t +x2 t 是方程是
dxdt
22
dxdt
n
n
a1 t
d
n 1
x
dt
n 1
an t x f1 t +f2 t 的解。
2
3. 试验证 x 0的基本解组为e,e
t t
，并求方程
dxdt
2
x cost的通解。
证明：由题将e代入方程
t
dxdt
2
2
ttt
x 0得：e-e=0,即e是该方程的解，
同理求得e t也是该方程的解
dxdt
22
又显然e,e
t t
线形无关，故e,e
t t
是 x 0的基本解组。
由题可设所求通解为：x t c1 t et c2 t e t，则有：
c t et c t e t 0 12 t t e t costcte c2 1
解之得：c1 t
14e
t
cost
t
sint c1;c2 t
t
14
e cost sint c2
t
故所求通解为：x t c1e c2e
dxdt
22
12
cost
4. 试验证
2
tdx
1 tdt
1
11 t
x 0有基本解组t，e，并求方程
t
dxdt
2
tdx
1 tdt
1 t
x t-1的通解。
2
dx
解：由题将t代入方程
dtdt
22
dt
1
2
tdx
1 tdt
t1 t
t1 t
t
11 t
x 0得：
tdt
1 tdt
t
1 t
t 0，即t为该方程的解
同理e也是该方程的解，又显然t，e线形无关，
dxdt
22
故t，e是方程
t
tdx
1 tdt
11 t
x 0的基本解组
由题可设所求通解为x t c1 t t c2 t e，则有：
t
王高雄版《常微分方程》习题解答
c t t c t et 0 12
t c1 t c2 t e t 1
解之得：c1 t t c1,c2 t te t e t c2 故所求通解为x t c1t c2et t 1
2
5. 以知方程
dxdt
2
2
x 0的基本解组为e,e
t t
，求此方程适合初始条件
x 0 1,x 0 0及x 0 0,x 0 1的基本解组（称为标准基本解组，即有w 0 1）
并求出方程的适合初始条件x 0 x0,x 0 x0的解。
解：e,e时间方程
t t
dxdt
2
2
x 0的基本解组，故存在常数c1,c2使得：x t c1e c2e
t
t
于是：x t c1et c2e t
令t=0,则有方程适合初始条件x 0 1,x 0 0，于是有：
00
111t1 t c1e c2e 1
,c xt e e 解得： 故c 2100
2222 c1e c2e 0
又该方程适合初始条件x 0 0,x 0 1，于是：
00
111t1 t c1e c2e 0
解得：c1 ,c2 故x t e e 00
2222 c1e c2e 1
显然x1 t ，x2 t 线形无关，所以此方程适合初始条件的基本解组为：
x t
12e
t
12
e
t
， x t
12
e
t
12
e
t
而此方程同时满足初始条件x 0 x0,x 0 x0，于是：
00 ce ce x012x0 x0x0 x0
解得：c1 ,c2 0022 c1e c2e x0
故x t
x0 x0
2
e
t
x0 x0
2
e
t
满足要求的解。
6. 设xi t i 1,2, ,n 是齐线形方程（4.2）的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式
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记为w t ，试证明w t 满足一阶线形方程w a1 t w 0，因而有：
w t w t0 e
xnxn xn
n 1
t0a1 s ds
xn xn xn
n
t
t a,b
x1
n 2 n
x1
解： w t
x1 x1
x1 x1 x1
n
x1 x1
xn xn
xn
n 2 n
n 1
x1xn
又xi t i 1,2, ,n 满足dxidt
nn
dxidt
n
n
a1 t
d
n 1
xi
dt
n 1
an t xi 0
即
n 1
dxi
a1 t atxnn 1 dt
w t 中第k行都乘以ak t ，加到最后一行
k为1，2， ，n 1
x1
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