斐波那契数列

斐波那契数列与黄金分割

斐波那契数列

我们先来做一个游戏！

斐波那契数列

+

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ??

十秒钟加数 请用十秒，计算出 左边一列数的和。

时间到！ 答案是 231。3

斐波那契数列

+

34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 ????

十秒钟加数 再来一次！

时间到！ 答案是 6710。4

斐波那契数列

这与“斐波那契数列”有关 若一个数列，前两项等于1,而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称

该数列为斐波那契数列。即：

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … …5

斐波那契数列

一、兔子问题和斐波那契数列1. 兔子问题1) 问题 ——取自意大利数学家 斐波那契的《算盘书》 (1202年)(L.Fibonacci,1170-1250)

斐波那契数列

兔子问题假设一对初生兔子要一个月才到成熟 期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子， 那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会 有多少对兔子呢？

斐波那契数列

解答1 月 1 对

斐波那契数列

解答1 月 1 对 2 月 1 对

斐波那契数列

解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对

斐波那契数列

解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对

斐波那契数列

解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对

斐波那契数列

解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对

斐波那契数列

解答1 月 1 对 2 月 1 对 3 月 2 对 4 月 3 对 5 月 5 对 6 月 8 对 7 月 13 对14

斐波那契数列

解答 可以将结果以列表形式给出：1月 1 7月 13 2月 1 8月 21 3月 2 9月 34 4月 3 5月 5 6月 8

10月 11月 12月 55 89 144

因此，斐波那契问题的答案是 144对。 以上数列， 即“斐波那契数列”15

斐波那契数列

规律兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二 个月时，共有多少对兔子？月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ⅤⅥ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89

到十二月时有大兔子144对，小兔子89对， 共有兔子144+89=233对。16

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2. 斐波那契数列1) 公式 用 Fn 表示第 有二阶递推公式

n个月大兔子的对数，则

F1 F2 1 Fn Fn 1 Fn 2 , n 3, 4,5 17

斐波那契数列

2) 斐波那契数列 令n = 1, 2, 3,… 依次写出数列，就是

1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55,89,144,233,377,… 这就是 斐波那契数列 。其中的任一个 数，都叫斐波那契数。

斐波那契数列

[思]:请构造一个3阶递推公式。

斐波那契数列

二、 相关的问题斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就 不会有强大的生命力。发人深省的是，斐 波那契数列确实在许多问题中出现。

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1. 跳格游戏