由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=

-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12

. 15. 已知向量a 、b , ｜a ｜ =1，｜b ｜ =2，若对任意单位向量e ，均有 ｜a ·e ｜+｜b ·e ｜

≤

,则a ·b 的最大值是 ． 【答案】12

【解析】221|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2

e e e +⋅≤⋅+⋅+++⋅≤⇒⋅≤ ，即最大值为12

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知b +c =2a cos B. （I ）证明：A =2B ；

（II ）若△ABC 的面积2

=4

a S ，求角A 的大小. 【试题分析】（I ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得()sin sin B =A-B ，再判断A -B 的取值范围，进而可证2A =B ；（II ）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得sin C cos =B ，再利用三角形的内角和可得角A 的大小．

（II ）由24a S =得2

1sin C 24

a a

b =，故有 1sin sin C sin 2sin cos 2

B =B =B B ， 因sin 0B ≠，得sin

C cos =B ．