【答案】12

【解析】ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠= ，

所以30BAD BCA ∠== .

由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅

2222222cos12012=+-⨯⨯= ，

所以AC =设AD x =

，则0t <<

DC x =.

在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅

22222cos30x x =+-⋅

24x =-+.

故BD =在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.

由余弦定理可得2222222(4)cos 2222

PD PB BD x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅， 所以30BPD ∠= .

E

D

C B A P

过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d = 则11sin 22

PBD S BD d PD PB BPD ∆=

⨯=⋅∠，

12sin 302d x =⋅ ，

解得d =.

而BCD ∆

的面积111sin )2sin 30)222

S CD BC BCD x x =

⋅∠=⋅= . 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD

的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯

=.

设t =

=

0x ≤≤12t ≤≤.

则|x

（2

x <≤

|x x =

故x =

此时，16V t

= 21414()66t t t t

-=⋅=-.