初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)[1]

初三课件

初中阶段因式分解的常用方法（例题详解）

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将

初中阶段因式分解的常用方法总结如下：

一、提公因式法.

如多项式am bm cm m(a b c),

其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．

二、运用公式法.

运用公式法，即用

a2 b2 (a b)(a b),

a2 2ab b2 (a b)2,

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am an bm bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=(am an) (bm bn)

=a(m n) b(m n) 每组之间还有公因式！

=(m n)(a b)

思考：此题还可以怎样分组？

此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。

例2、分解因式：2ax 10ay 5by bx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=(2ax 10ay) (5by bx) 原式=(2ax bx) ( 10ay 5by)

=2a(x 5y) b(x 5y) =x(2a b) 5y(2a b)

=(x 5y)(2a b) =(2a b)(x 5y)

练习：分解因式1、a ab ac bc 2、xy x y 1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x y ax ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=(x y) (ax ay)

=(x y)(x y) a(x y)

=(x y)(x y a)

例4、分解因式：a 2ab b c

解：原式=(a 2ab b) c

=(a b) c

=(a b c)(a b c)

注意这两个例题的区别！

练习：分解因式3、x x 9y 3y 4、x y z 2yz

1 222222222222222222

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22综合练习：（1）x3 x2y xy2 y3 （2）ax bx bx ax a b

22（3）x2 6xy 9y2 16a2 8a 1 （4）a 6ab 12b 9b 4a

432（5）a 2a a 9 （6）4a2x 4a2y b2x b2y

22（7）x2 2xy xz yz y2 （8）a 2a b 2b 2ab 1

（9）y(y 2) (m 1)(m 1) （10）(a c)(a c) b(b 2a)

333222（11）a(b c) b(a c) c(a b) 2abc（12）a b c 3abc

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2 (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

2 例5、分解因式：x 5x 6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2

22解：x 5x 6=x (2 3)x 2 3

=(x 2)(x 3) 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例6、分解因式：x 7x 6

解：原式=x [( 1) ( 6)]x ( 1)( 6) 1 -1

=(x 1)(x 6) （-1）+（-6）= -7

练习5、分解因式(1)x 14x 24 (2)a 15a 36 (3)x 4x 5

222练习6、分解因式(1)x x 2 (2)y 2y 15 (3)x 10x 24

2（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax bx c

条件：（1）a a1a2 a1 c1

（2）c c1c2 a2c2

（3）b a1c2 a2c1 b a1c2 a2c1

分解结果：ax bx c=(a1x c1)(a2x c2)

例7、分解因式：3x 11x 10

分析： 1 （-6）+（-5）= -11

2 2222222

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解：3x2 11x 10=(x 2)(3x 5)

练习7、分解因式：（1）5x2 7x 6 （2）3x2 7x 2

（3）10x2 17x 3 （4） 6y2 11y 10

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：a2 8ab 128b2

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1

8b+(-16b)= -8b

解：a2 8ab 128b2=a2 [8b ( 16b)]a 8b ( 16b)

=(a 8b)(a 16b)

练习8、分解因式(1)x2 3xy 2y2(2)m2 6mn 8n2(3)a2 ab 6b2

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2x2 7xy 6y2 例10、x2y2 3xy 2

1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式=(x 2y)(2x 3y) 解：原式=(xy 1)(xy 2)

练习9、分解因式：（1）15x2 7xy 4y2 （2）a2x2 6ax 8

综合练习10、（1）8x6 7x3 1 （2）12x2 11xy 15y2

（3）(x y)2 3(x y) 10 （4）(a b)2 4a 4b 3

（5）x2y2 5x2y 6x2 （6）m2 4mn 4n2 3m 6n 2

（7）x2 4xy 4y2 2x 4y 3 （8）5(a b)2 23(a2 b2) 10(a b)2

（9）4x2 4xy 6x 3y y2 10 （10）12(x y)2 11(x2 y2) 2(x y)2

思考：分解因式：abcx2 (a2b2 c2)x abc

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