§1.2.2数列极限的性质

1.2.2 数列极限的性质

性质 1（唯一性）若 xn 收敛，则其极限唯一。

证明：用反证法。

a b ） 假设 lim xn a ， lim xn b ， （ ，取

n n

b a 2

0 ，

N 1 N ， n N1 时，恒有 xn a ，

N 2 N ， n N 2 时，恒有 xn b ，

n N 时，上面两个不等式同时成立， 取 N max{ N1 , N 2 } ，则当

∵ b a b xn xn a b xn xn a 2 b a ，矛盾。

∴收敛数列的极限是唯一的。

例 1．证明数列 xn ( 1) n 1 发散。

证明：若此数列收敛，则其极限唯一， 设lim xn a 。

n

1 则对于 ， N N ， n N 时， 2 1 1 1 恒有 xn a ，即 xn (a , a ) 。 2 2 2

因为当 n 时，xn 重复 取得 1 和-1 这两个数，而 1 1 这两个数不可能同时属于长度为 1 的开区间(a , a ) 2 2 内，故此数列发散。

xn 必有界，即 性质 2（有界性）若 xn 收敛，则

M 0 ， n N , 有 xn M . 。

证明：设 lim xn a ， n 注意：收敛数列必有界；反之有界数列未必收敛。 n N 时，恒有 xn a 1 ， 则对 1 ， N N n， 例如{( 1) } 有界，但不收敛。

从而 xn xn a a xn a a 1 a ，

即 x N 1 1 a ， x N 2 1 a ， x N 3 1 a ，…。

N 在{xn } 中不满足 xn 1 a 的项不过是前

项：

x1 ， x2 ，…， x N 。

令 M max{ x1 , x 2 , , x N , 1 a } ，则 n N , 有 xn M 。

a b ， 性质 3（保序性）若 lim xn a ， lim y n b ，且

n n

n N xn y n 。 则 N N ，

b a 证明：取 。 2 ∵ lim xn a ， lim yn b ，

a b n N1 xn a xn ∴ N1 N ， ， 2 a b n N 2 y n b N 2 N ， yn ， 2 令 N max{ N1 , N 2 } ，

a b 则当 n N 时，有 xn yn 。 2

n

n

a b 。 推论 1 若 lim xn a ， lim yn b ，且xn yn ，则

n n

a b ） 推论 2 若 lim xn a ，且a b （或 ，则 N N ，

n

n N x n b （或 x n b ） 。

特别地，当b 0 时，有 x n 0 ( n N ) （或 x n 0 ( n N ) ） 。 这一性质常称为极限的保号性。

a b 。 注：在推论 1 中 xn yn ，可能有 1 1 { } 与 { } ， 例如：两个收敛数列 n n 1 1 1 1 对 n N ，总有 ，但 lim ( ) lim 0 。 n n n n n n

性质 3 及其两个推论的条件与结论可整理成下表

特点 定理 性质 3 推论 1 推论 2

极限的特点

( xn 的极限 ) a b ( y n 的极限 ) ( x