人教版高中数学指数函数的图象及性质(精品题目分类解析)

2.1.2 指数函数及其性质指数函数的图象及性质

一、指数函数的概念 1.解析式：________________. y=ax(a>0,且a≠1) 2.自变量：__. x 思考：指数函数的解析式具有的三个结构特征是什么？ 提示：(1)底数a为大于0且不等于1的常数. (2)指数位置是自变量x,且x的系数是1. (3)ax的系数是1.

【知识点拨】 1.指数函数中规定a>0,且a≠1的原因 (1)如果a=0,当x>0时，ax恒等于0;当x≤0时，ax无意义. (2)如果a<0,例如y=(-4)x,这时对于 x , , , 在实数范围 内该函数无意义. (3)如果a=1,则y=1x是一个常量，没有研究的价值. 为了避免上述各种情况，所以规定a>0,且a≠1.1 1 2 4

用描点法作函数 y 2 和y 3 的图象 .x xx y=2x y=3x … … … -2 1/4 1/9 -1 1/2 1/3 0 1 1 1 2 3 2 4 9 … … …

y

y 3

x

y 2x

1-3 -2 -1

Y=11 2 3

o

x

函 数 图 象 特 征

1 x 1 x 用描点法作函数 y ( ) 和y ( ) 的图象 . 2 3x y=2-x y=3-x … … … -2 4 9 -1 2 3 0 1 1 1 1/2 1/3 2 1/4 1/9 … … …

1 x 1 x y ( ) y ( ) 3 2

y

-3 -2 -1

1

2

3

2.指数函数的性质 定义域 值域 定点

R __ (0,+∞) ________(0,1) 即x=__ 1 ______, 0 时,y=__ 减函数 当0<a<1时,在R上是_______ 增函数 当a>1时,在R上是_______

单调性

2.指数函数图象的变化趋势

3.指数函数值的变化规律(1)根据底数的不同指数函数的函数值有以下两类变化规律：

①当a>1时，若x>0,则y>1;若x<0,则0<y<1. ②当0<a<1时，若x>0,则0<y<1; 若x<0,则y>1. (2)指数函数中函数值的“有界性”: 当a>0,且a≠1时，对于任意x∈R总有ax>0.

类型 一

指数函数的概念

【典型例题】 1.下列函数中是指数函数的有______(填序号). (1)y=4x;(2)y=x4;(3)y=-4x; (4)y=(-4)x;(5)y=4x+1;(6)y=xx; (7)y= 4x ; (8)y=(2a-1)x(a> , 且a≠1). 2 2.若函数y=(a2-5a+5)ax是指数函数，则实数a=______.2

1

【解题探究】1.判断一个函数是不是指数函数的依据是什么？ 2.题2中根据指数函数的定义可知，实数a应满足哪些条件？ 探究提示： 1.判断一个函数是不是指数函数的依据是指数函数的解析式具 有的三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x. (2)指数位置是自变量x,且x的系数是1. (3)ax的系数是1. 2.实数a应满足a2-5a+5=1,a>0且a≠1.

【解析】1.(1)(8)为指数函数. (2)不是指数函数,因为自变量不在指数上. (3)不是指数函数,因为4x的系数是-1. (4)不是指数函数,因为底数-4<0. (5)不是指数函数,因为y=4x+1=4·4x. (6)不是指数函数,因为底数x不是常数，不符合指数函数的定义. (7)不是指数函数,因为指数不是自变量x,而是x2.

答案：(1)(8)

a 2 5a 5 1 , 2.由指数函数定义得 解得a=4. , a 0, 且a 1

答案：4

【拓展提升】 1.判断

一个函数是指数函数的方法 (1)看形式：只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1) 这一结构特征. (2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特 征不具备，则不是指数函数.

2.已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤

1 【变式训练】指数函数f(x)的图象过点(-3, ),则 8

f(2)=______. 【解析】设f(x)=ax(a>0,且a≠1).1 ≧f(x)的图象过点(-3, ), 8 1 3 a -3= , a =8,故a=2, f(x)=2x, f(2)=22=4. 8

答案：4

,

若f (552 x 1

2 x 1

) x 2,则f (125) 3

=125=5 2 x 1=3 x 22 2 1

f (125) f (5

) 2 2 0