圆锥曲线题型总结
时间：2026-01-23
直线和圆锥曲线常考题型
运用的知识： 1、中点坐标公式：x
x1 x2
2
,y
y1 y2
2
，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐标。
2、弦长公式：若点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线y kx b(k 0)上，
则y1 kx1 b，y2 kx2 b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
AB
或者AB
3、两条直线l1:y k1x b1,l2:y k2x b2垂直：则k1k2 1 两条直线垂直，则直线所在的向量v1 v2 0
4、韦达定理：若一元二次方程ax bx c 0(a 0)有两个不同的根x1,x2，则x1 x2 常见的一些题型：
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线l:y kx 1与椭圆C:
解：根据直线l:y kx 1的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆C:
x
2
2
ba
,x1x2
ca
。
x
2
4
y
2
m
1始终有交点，求m的取值范围
4
y
2
m
1过动点（0， 且m 4，如
果直线l:y kx 1和椭圆C:
x
2
4
y
2
m
1 1，且m 4，即1 m且m 4。
规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：
l:y kx 1 过定点（0，1） l:y k(x 1) 过定点（ 1，0） l:y 2 k(x 1) 过定点（ 1，2）
题型二：弦的垂直平分线问题
例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：y x交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得 ABE是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线l:y k(x 1)，k 0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。 由
y k(x 1) y x
2
2
消y整理，得kx (2k 1)x k 0 ①
2222
由直线和抛物线交于两点，得 (2k 1) 4k 4k 1 0 即0 k
2
2242
14
②
2k 1k
22
由韦达定理，得：x1 x2 线段的垂直平分线方程为：
y
12k
1k(x
1 2k2k
22
,x1x2 1。则线段AB的中点为(
2k 12k
2
2
,
12k
)。
)令y=0,得x0
12k
2
12
，则E(
12k
2
12
,0)
ABE为正三角形， E(
12k
2
12
,0)到直线AB的距离d
B。
AB
k
2
d
2k
2
2k
解得k
13
满足②式此时x0
53
。
题型三：动弦过定点的问题 例题3、已知椭圆C：（I）求椭圆的方程；
（II）若直线l:x t(t 2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
解：（I）由已知椭圆C
的离心率e
ca
2
xa
22
yb
22
1(a b
0)2
，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
a 2,
则得c b 1。从而椭圆的方程为
x
2
4
y 1
2
（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y k1(x 2)，由
2
y k1(x 2) x 4y 4
2
2
消y
k1整理得(1 4
2
x)
2
1k26x 11k6
2
4 02和x1是方程的两个根， 2x1
16k1 41 4k1
2
则x1
2 8k11 4k1
2
2
，
y1
4k11 4k1
2
，即点M的坐标为(
2 8k11 4k1
2
2
,
4k11 4k1
2
)，
同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(
8k2 21 4k2
2
2
,
4k21 4k2
2
)
yp k1(t 2),yp k2(t 2)
k1 k2k1 k2
2t
， 直线MN的方程为：
y y1x x14t
y2 y1x2 x1
，
令y=0，得x
x2y1 x1y2
y1 y24t
，将点M、N的坐标代入，化简后得：x
又 t 2， 0 2
椭圆的焦点为0
)
4t
t
3
故当t
3
时，MN过椭圆的焦点。
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A、B、C是椭圆E：
xa
22
yb
22
1 (a b 0)上的三点，其中点
A0)是椭圆的右顶点，直线BC
过椭圆的中心O，且AC BC 0，BC 2AC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点
P、Q，使得直线PC与直线QC
关于直线x PQ的斜率。
解：(I) BC 2AC，且BC过椭圆的中心O
OC AC AC BC 0 ACO
又 A0) 点C
的坐标为2
A0)
是椭圆的右顶点， a x
2
。
12
y
2
yb
22
1
将点
C代入方程，得b 4， 椭圆E的方程为x
2
2
12
4
1
(II) 直线PC与直线QC
关于直线x
设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为 k，从而直线PC的方程为：
y k(x
，即y kx y
k)，由
kx k) 2
2
x 3y 12 0
消y，整理得：
(1 3k)x (1 k)x 9k 18k
3 0 x
9k 18k 31 3k
2
2
222
9k 18k 3
2
xP
即xP
9k 18k 3
2
同理可得：xQ
yP yQ kxP
2
k) kxQ
2
k)＝k(xP xQ)
xP xQ
kPQ
yP yQxP xQ
13
则直线PQ的斜率为定值
13
。
题型五：共线向量问题
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