(4)

(x y)dxdy.x2 y2 x y

08D设D {(x,y)|x2 y2 x},求

xdxdy.

D

09A计算下列二重积分:(1)

0

|cos(x y)|dxdy;

x

0 y

(2) |sin(x y)|d ,其中D:0 x y 2 ;

D

(3)

|x y| 2dxdy,其中D:0 x 2, 2 y 2;D

(4)

|xy|dxdy;

|x| |y| 1

1(5) (|x| |

y|)2

d ,其中D:0 x 2,|y| 1;

D(6)

sinxsiny max{x,y}dxdy,其中D:0 x ,0 y .

D

09B设f(x,y) {

1,0 x 1,0 y 1

0,其它,D是由x 0,y 0及x y t

所围区域.计算F(t)

f(x,y)dxdy.

D

09C计算I

(|x| |y|)dxdy,其中D:|x| |y| 1.

D

10A设f(t)在[1, )上有连续的二阶导数,f(1) 0,f (1) 1,且二元函数z

(x2

y2)

f(x2

y2)

满足

2z x2 2z

y2

0,求f(t)在[1, )上的最大值.10B证明:若函数u u(x,y),满足拉普拉斯方程

2u 2 x2 u

y2

0,则函数v u

(xy

x2 y2,x2 y2

)

也满足上述拉普拉斯方程.

10C设u f(r),r lnx2 y2 z2满足方程

2u 2u 2 u

22 x2 y2 z

2 (x y2 z) 3/2,求f(x).

10D设p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的连续函数,且在[a,b]上,p(x) 0,f(x),g(x)为单调递增,试证:

ba

p(x)f(x)dx

ba

p(x)g(x)dx

ba

p(x)dx

ba

p(x)f(x)g(x)dx.

10E试证:抛物面z 1 x2 y2上任意点处的切平面与抛物面z x2 y2

所围成立体的体积是一定值.

10F设函数f(x)连续,f(0) 1,令F(t)

f(x2 y2)dxdy(t 0),求F (0).

x2 y2 t2

10G设f(x,y)在区域D:0 x 1,0 y 1上有定义f(0,0) 0,且在(0,0)

x2dt

t处f(x,y)可微,求0

xf(t,u)du

xlim 0

4.

1 e

x4

10H记D(R) {(x,y)|x2 y2 R2},求Rlim

e (x

2 y2)

dxdy.

D(R)

10I证明：

e x2

dx

.