高中数学 第一章1.3.2《等比数列及其前n项和》课(5)

有效,简洁

bn－1－bn－2＝2n－10，

b3－b2＝－2， b2－b1＝－4， b1＝8，

相加得bn＝8＋(－4)＋(－2)＋ ＋(2n－8) (n－1)(－4＋2n－8)2*

＝8n－7n＋14(n∈N)．

2(2)∵bk－ak＝k－7k＋14－2设f(k)＝k－7k＋14－2

2

4－k

2

4－k

，

.

7274－k

当k≥4时，f(k)＝(k－)＋2单调递增．

24且f(4)＝1，

∴当k≥4时，f(k)＝k－7k＋14－2又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，

∴不存在k∈N，使得(bk－ak)∈(0,1)．

(理)等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝24，a2＝5，对每一个k∈N，在ak与ak＋1之间插入2

k－1

*

*

2

4－k

≥1.

个1，得到新数列{bn}，其前n项和为Tn.

(1)求数列{an}的通项公式； (2)试问a11是数列{bn}的第几项；

(3)是否存在正整数m，使Tm＝2010？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 4×3

解：(1)设{an}的公差为d，∵S4＝4a1＋＝24，a2＝a1＋d＝5，

2∴a1＝3，d＝2，an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1.

1－2

(2)依题意，在a11之前插入的1的总个数为1＋2＋2＋ ＋2＝＝1023，

1－2

2

9

10

1023＋11＝1034，故a11是数列{bn}的第1034项． (3)依题意，Sn＝na1＋

n(n－1)

＝n2＋2n，

2

2

an之前插入的1的总个数为1＋2＋2＋ ＋2

2

n－2

1－2n－1＝2－1，

1－2

n－1

n－1

故数列{bn}中，an及前面的所有项的和为n＋2n＋2

2

－1，

∴数列{bn}中，a11及前面的所有项的和为11＋22＋2－1＝1166＜2010， 而2010－1166＝844，a11与a12之间的1的个数为2＝1024个，

即在a11后加844个1，其和为2010，故存在m＝1034＋844＝1878，使T1878＝2010.

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