高中数学 第一章1.3.2《等比数列及其前n项和》课(4)

有效,简洁

解析：∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25， ∴a3＋2a3a5＋a5＝25， 又an＞0，∴a3＋a5＝5， 又q∈(0,1)，∴a3＞a5， 而a3a5＝4，∴a3＝4，a5＝1，

11n－15－n

∴q＝a1＝16，an＝2，

22

2

2

bn＝log2an＝5－n，bn＋1－bn＝－1，

∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴Sn＝

n(9－n)

2Sn9－n

，∴，

n2Sn

n

Snn

Snn

∴当n≤8时，＞0；当n＝9时，＝0；当n＞9时，＜0， ∴当n＝8或9时，＋ ＋

12n答案：C

10．(文)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋2a3＋ ＋2

1

2

S1S2Sn

n－

an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)问是否存在k∈N，使得(bk－ak)∈(0,1)？请说明理由． 解：(1)已知a1＋2a2＋2a3＋ ＋2当n≥2时，a1＋2a2＋2a3＋ ＋2①－②得2

n－1

22*

n－1

an＝8n(n∈N*)①

n－2

an－1＝8(n－1)(n∈N*)②

an＝8，求得an＝24－n，

4－1

在①中令n＝1，可得a1＝8＝2∴an＝2

4－n

，

(n∈N)．

*

由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2， ∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，

∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2， ∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6， 法一：迭代法得：

bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋ ＋(bn－bn－1)

＝8＋(－4)＋(－2)＋ ＋(2n－8) ＝n－7n＋14(n∈N)． 法二：可用累加法， 即bn－bn－1＝2n－8，

2

*