高三数学第一轮教学案1.1 集合的概念与运算j(5)

高三数学第一轮教学案1.1 集合的概念与运算

高三数学第一轮复习教案 第一章 集合与简易逻辑

评述：本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视.

【例4】 已知集合A={（x，y）|x2+mx－y+2=0}，B={（x，y）|x－y+1=0，0≤x≤2}，如果A∩B≠ ，求实数m的取值范围.

剖析：如果目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在本题中只起了一种“化妆品”的作用，它的实际背景是“抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）有公共点，求实数m的取值范围”.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.

x2 mx y 2 0,

解：由 得

x y 1 0(0 x 2),

x2+（m－1）x+1=0. ① ∵A∩B≠ ，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解. 首先，由Δ=（m－1）2－4≥0，得m≥3或m≤－1.

当m≥3时，由x1+x2=－（m－1）＜0及x1x2=1知，方程①只有负根，不符合要求； 当m≤－1时，由x1+x2=－（m－1）＞0及x1x2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间（0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.

综上所述，所求m的取值范围是（－∞，－1］. 评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.

深化拓展

设m∈R，A={（x，y）|y=－3x+m}，B={（x，y）|x=cosθ，y=sinθ，0＜θ＜2π}，且A∩B={（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）}（θ1≠θ2），求m的取值范围.

提示：根据题意，直线y=－3x+m与圆x2+y2=1（x≠1）交于两点， ∴

2

|m|1 ( 3)

2

＜1且0≠－3×1+m.

∴－2＜m＜2且m≠3. 答案：－2＜m＜2且m≠3.

●闯关训练

夯实基础

1.集合A={（x，y）|x+y=0}，B={（x，y）|x－y=2}，则A∩B是 A.（1，－1）

x 1B.

y 1