（三）关于积分形式不变性

如果∫f（x）dx=F（x）+C，那么有∫f（u）du=F（u）+C，其中

u =Φ（x）是x的可微函数。这个道理说明：

（1）.积分变量x无论是自变量，还是中间变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变性。

（2）.根据这个定理，基本积分公式中的x既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数），因此基本积分公式中的公式应用范围就扩大了。

（四）分部积分法

设u=u（x），v=v（x）是可微函数，且u/（x）v（x）或u（x）v/（x）有原函数，则有分部积分公式：

∫u（x）v/（x）dx=u（x）v（x）-∫v（x）u/（x）dx

或 ∫udu = uv - ∫vdu

当被积分函数是两个函数的乘机形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当的选择谁做u，谁做v/。如果选择不当，就有可能求不出积分的结果或者计算很困难，一般说来选择u和v/的原则是：

1. 根据v/容易求出v；

2. ∫vu/dx要比∫u v/dx容易计算。

（五）关于定积分的定义

由定积分的定义可以看出，定积分是一个数值，这个数值与被积函数f（x）及积分区间

[a，b]有关，与区间[a，b]的分法和点的取法无关，而且与积分变量用什么字母也无关，所以有

f（x）dx= f（t）dt = f（u）du

函数f（x）在[a，b]上可积的条件与f（x）在[a，b]上连续或可导的条件相比是最弱的条件，即f（x）在[a，b]上有以下关系：

可导 连续 可积

反之都不一定成立。

（六）有关定积分的性质

在定积分的性质中，除了类似于不定积分的线性性质以外，还要记住下列基本公式：

f（x）dx = - f（x）dx

f（x）dx=0

1dx = b- a

定积分关于积分的区间的 可加性是一个很重要并且在计算定积分时常用的性质，即，