（一）.关于原函数与不定积分概念的几点说明

1. 原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某个区间上的函数f（x），若存在函数F（x），使得该区间上的每一点x处都有

F/（x）=f（x），则称F（x）是f（x）在该区间上的原函数。而表达式F（x）+C（C为任意常数）称为f（x）的不定积分。

2. f（x）的原来函数若存在，则原函数有无限多，但任意两个原函数之间相差某个常数。因此求f（x）的不定积分∫f（x）dx时，只需求出f（x）的一个原函数F（x），再加上一个任意常数C即可，即∫f（x）dx = F（x）+C。

3. 原函数F（x）与不定积分∫f（x）dx是个体与全体的关系，F（x）只是f（x）的某个原函数，而∫f（x）dx是f（x）的全部原函数，因此一个原函数只是加上任意常数C后，即F（x）+C才能成为f（x）的不定积分。例如x2 + 1，x2-3，x2+12都是2x的原函数，但都不是2x的不定积分，只有x2 + C才是2x的不定积分（其中C是任意常数）。

4. f（x）的不定积分∫f（x）dx中隐含着积分常C，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意的常数C。

5. 原函数存在的条件：如果函数f（x）在某区间上连续，则在此区间上f（x）的原函数一定存在。由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分

∫ dx ∫

都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。

（二）换元积分法的几点说明

换元积分法是把原来的被积表达式做适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。

1. 第一换元积分法（凑微分法）：

根据一阶微分形式的不变性，若

dF（u）=f（u）du

则

dF（u（x））=f（u）du

利用不定积分与微分的互逆关系，可以把它转化为不定积分的换元公式：

∫f[u（x）]du（x）= ∫f（u）du （ 令u = u（x））

= F（u）+ C （ 求积分）

= F（u（x））+ C （ 令 u = u（x））

在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。

2. 第二换元积分法：令x=φ（x），常用于被积函数含

或 等形式。

3. 同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可通过对积分结果进行导运算来验证。