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一、数列的概念与简单的表示法：1.数列的概念：按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这 个数列的项。 2.数列的分类：有穷数列;无穷数列;递增数列;递减数列；常数列；摆动数列.

注意： (1)若an+1>an恒成立，则{an}为递增数列(2)若an+1<an恒成立，则{an}为递减数 列 (2)在数列 {an} 中，若

an an 1 an an 1

则

an最小.

an an 1 an an 1

则

an

最大.

3.数列的通项公式、递推公式、数列与函数的关系。

二、等差数列与等比数列(其基本知识内容请看下表):2

金太阳新课标资源网 老师都说好! 等差数列与等比数列知识系表： 等差数列 等比数列

定义 通项 通项推广 中项 性质

an 1 an dan a1 (n 1)d an am (n m)d a b A 2

an 1 an q

an a1q n 1 an am q n mG 2 ab an a m a p aq 2 an am a p a1 (1 q n ) a1 an q Sn 1 q 1 q na1 q 1 q 1

an am a p aq an am 2a pn(a1 an ) n(n 1)d Sn na1 2 2

S k , S 2 k S k , S3k S 2 k 仍成等差 S k , S 2 k S k , S3k S 2 k 仍成等比

求和 公式 关系式

an、S n

S n S n 1 n 2 an n 1 S1

适用所有数列3

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1、观察法猜想求通项： 2、特殊数列的通项： 3、公式法求通项： 4、累加法，如 5、累乘法，如 6、构造法求通项

an 1 an f (n)an 1 f ( n) an

an 1 k an bb kb an 1 k an k 1 k 1 4

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1.观察数列:30,37,32,35,34,33,36,( ),38的特点,在括 31 号内适当的一个数是______ 9 2.在等差数列中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=_____3. 在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12的值为 ( C ) A.20 B.22 C.24 D.28

B 4.已知数列{an}中,a1=1,并且3an+1-3an=1,则a301= ( ) A.100 B.101 C.102 D.1035.若{an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那 么a3+a5的值等于 ( A ) A.5 B.1 C.15 D.105

典例分析：

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一、等差数列与等比数列性质的灵活运用例1、在等差数列 { a n } 中，a 1 -a 4 -a 8 -a 12 + a 15 = 2, 求 a 3 + a 13 的值。 解：由题 a 1 + a 15 = a 4 + a 12 = 2a 8 故 a 3 + a 13 = 2a 8 = -4 例2、已知 { a n } 是等比数列，且 a 2a 4 + 2a 3a 5 + a 4a 6 = 25, a n >0,求 a 3 + a 5 的值。

∴ a 8 = -2

解：由题 a 32 = a 2a 4, a 52 = a 4a 6,∴ a 32 + 2a 3a 5 + a 52 = 25 ∵ a n >0 故 即 ( a 3 + a 5 ) 2 = 25

a3 + a5 = 56

二、等差数列的最值问题

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例2.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小?

分析:

如果等差数列{an}由负数递增到正数，或者由 正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质： an 0

1.当a1<0,d>0时,2.当a1>0,d<0时, 思路1:寻求通项

S n是最小值 an 1 0 an 0 S n是最大值 an 1 0

1 1 9a1 9 (9 1) d 12a1 12 (12 1) d 2 2 a1 11 n 1 3 即： a1 30 d d a1 an a1 (n 1)( ) a1 10 10 10 由于 a1 0 易知 a10 0 a11 0 a12 0

∴n取10或11时Sn取最小值

例2.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 分析: 等差数列{an}的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是 关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn的 最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法. 思路2:从函数的角度来分析数列问题. 1 1 设等差数列{an}的公差为d,则由题意得:

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9a1 9 (9 1) d 12a1 12 (12 1) d 2 2

即： 3a1 30 d

a1 10d

∵a1<0, ∴ d>0,

1 1 Sn na1 n(n 1)d 10dn n(n 1)d 2 2d 21 2 212 (n ) d 2 2 8

1 2 21 dn dn 2 2

∵d>0, ∴Sn有最小值.8

又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值

例2.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小?

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分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn 的图象也是一群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立 的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n.

思路3:函数图像、数形结合 令 n An 2 Bn 过原点抛物线 S又S1=a1<0, 故开口向上 所以Sn有最小值 因为S9=S12, 所以Sn 的图象所在的抛物线的 对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5, ∴数列{an}的前10项或前11项和最小类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象的 对称轴为 直线x=(9+12) ÷2=10.5 若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为 直线x=2

Sn

10.5

o b 2a

n

n=

三、等差、等比数列的综合应用例3 已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，又a1=b1 7 =1 ,a2b2=2,a3 b3 = . 4 (1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式；

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(2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn

解析：

(1 d )q 2 (1) 1 d 3, q 7 (1 2d )q 2 (2) 2 4 1 1 cn an bn (3n 2) n 1 bn n 1 an 3n 2 2 2 通项特征： 由等差数列通项与等比数列通项相乘而

得 求和方法： 错位相减法——错项法

设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn} 的 q 公比为 ，则由题意得

cn an bn (3n 2)

金太阳新课标资源网 老师都说好! 1

解析：

2

n 1

S n c1 c2 c3 cn

1 1 1 1 1 S n 1 0 4 1 7 2 (3n 5) n 2 (3n 2 ) n 1 错位相 2 2 2 2 2

减法

1 1 1 1 1 1 S n 1 1 4 2 7 3 (3n 5) n 1 (3n 2 ) n 2 2 2 2 2 21 1 (1 n 1 ) 1 1 1 1 1 2 2 3n 2 S n 1 3 1 3 2 3 n 1 (3n 2) n 1 3 1 2 2 2 2 2 2n 1 2

两式相减：

S n 2(4

3 2n 1

3n 2 6 6n 4 ) 8 n 1 n n 2 2 211

金太阳新课标资源网 四、有关项与和的问题：

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例5. 已知 an , bn 是两个等差数列，前 分析： 【思路一】

, 分别是 An和 Bn 且

a8 An 7n 2 , 求 . b8 Bn n 3

n 项和

A2 n 1 2n 1 a1 a2 n 1 B2 n 1 2n 1 b1 b2 n 1

2n 1 2an an 2n 1 2bn bn

结论：

an A2 n 1 bn B2 n 1a8 A15 7 15 2 107 b8 B 15 15 3 1812

解：

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【思路二】An 7 n 2 7 n 2n 2 Bn n 3 n n 3 n 3n2

n 7n 2

令： An 7n 2n2

Bn n 3n2

则

an An An 1 14n 5 bn Bn Bn 1 2n 2

a8 107 b8 18