（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；

（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；

（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使 CPN 90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

（2009年新疆乌鲁木齐23题解析）

解：（1）∵点D是OA的中点，∴OD 2，∴OD

OC图9

又∵OP是 COD的角平分线，∴ POC POD 45°，

∴△POC≌△POD，∴PC PD． ··········

········································ 3分

（2）过点B作 AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．

易知点F的坐标为（2，2），故BF 2，作PM⊥BF， ∵△PBF是等腰直角三角形，∴PM ∴点P的坐标为（3，3）． ∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为y ax bx．

2

1

BF 1， 2

3)和点D(2，0)， 又∵抛物线经过点P(3，

9a 3b 3 a 1

∴有 解得

4a 2b 0b 2

2

∴抛物线的解析式为y x 2x． ····························································· 7分 （3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于 AOC的平分线的对称点即为C点．

连接EC，它与 AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE PD EC，而两点之间线段最短），此时

△PED的周长最小．