第三章 复变函数的积分

（一）

1.解:y x(0 x 1)为从点0到1+i的直线方程,于是 (x y ix2)dz

C

1 i

01

(x y ix)d(x yi)

22

1

2

(x x ix)d(x ix) (1 i)i xdx

(i 1)

x

3

10

3

1 i3

2.解:(1)C:z x, 1 x 1,因此 zdz

C

1

1

xdx 1

(2)C:z ei , 从 变到0,因此 zdz

C

de

i

i ed 2

i

(3)下半圆周方程为z ei , 2 ,则 zdz

C

2

de

i

i ied 2

i

3.证明:(1)C:x 0, 1 y 1

因为f(z) x2 y2i iy2 1,而积分路径长为i ( i) 2 故

C

(x iy)dz

22

i

i

(x iy)dz 2

22

.

(2) C:x2 y2 1,x 0 而f(z) x2 iy2 所以

x y

4

4

1,右半圆周长为 ,

i

i

(x iy)dz

22

.

2

4.解:(1)因为距离原点最近的奇点z ,在单位圆z 1的外部,所以

dzcosz

0.

1cosz

在

z 1上处处解析,由柯西积分定理得

C

(2)

1z 2z 21

2

1(z 1) 1

2

,因奇点z 1 i在单位圆z 1的外部, 所以

dzz 2z 2

2

z 2z 2

2

在z 1上处处解析,由柯西积分定理得 C

0

.