众所周知,解析几何综合性问题具有涉及的知识点多、运算量大、形式灵活多变等特点。学生对此类问题颇感头疼,往往采取“退避三舍”的态度,使此处教学陷入僵局。笔者通过研究发现,许多解析几何综合题,均可妙用解决“中点弦”问题的常用方法——“点差法”来解决,往往可以收到化繁为简、出奇制胜的效果。现就具体问题展示如下。

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20第 8 06年期

中学教研 (学)数

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中章

教研

妙用“点差法"巧解解析几何综合题●杨松涛’

巾带

技研

(河北秦皇岛市青龙第一中学 060 650)

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众所周知，解析几何综合性问题具有涉及的知识点多、运算量大、形式灵活多变等特点.学生对此类问题颇感头疼，往往采取“退避三舍”的态度，使此,

例 2已知直线 Z与圆+,+ x 0切于点 ) 2=相 且与双曲线一 2相交于 A曰两点， y=l,若为 线段的中点，求直线 Z的方程.

曩

处教学陷入僵局.笔者通过研究发现，许多解析几何综合题，可妙用解决“点弦”问题的常用方均中

解 (若 .存在.如图 2设 A x,。, (2 1 i )}胴， (.,)B x,,J } J L

法——“点差法”来解决，往往可以收到化繁为简、 出奇制胜的效果.现就具体问题展示如下..

. 2

例 l已知椭圆 C的方程为-- y=1椭圆的 f i -+2,J一

y’一，l,j一

l+X2

、

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2一 1 Yl+y 2

个顶点为A O一 )若斜率为k的直线 z (, 1,交椭圆=

/图2

于不同两点 M,,足 IMI A I求斜率 k』满 v A .IN,的取值范围 .解如图 1设 M(,, . Y )』 2 Y ) MN中点 1,v(, 2, 盯=

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而 k。 }=一1 .| I . .

P ,o. k, (0Y )若#O则2

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利用点差法，■ 得一

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譬孚+)=(÷. (当置不存在时，图 2知，的方程为= 2幢 )如易 l

则

y o+l =一 1下0

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②

一

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由①,②得=一3。丁 k,‘.‘

y 0=

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故求线程 y± (÷千或所直方为=孚 ) +譬=一2 .

中点 P必在椭圆内，将点 P的坐标代入椭

圆程莩+<即<方得 l 1 1, .‘ ..一

例 3过抛物线的焦点，作不垂直于对称轴的直线交抛物线于 A, B两点，线段 A, B的垂直平分线

1<k<1且% - .#0

交对称轴于求证： B= F . I I 2N I A I 解设抛物线方程为= p ( 0, , 2x p> )A(。 )B x, )中点 M(0Y)则， (2y,’ x,, o

若k,=0自然成立. . .

所求的取值范围为一1<k<1 .