第八章8.1

系统状态变量分析

状态变量与状态方程

一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式

8.2

状态方程的建立

一、电路状态方程的列写 二、由输入-输出方程建立状态方程

8.3 8.4 8.5

离散系统状态方程的建立 连续系统状态方程的解 离散系统状态方程的解

第八章

系统状态变量分析

前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： (1)只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； (2)只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介绍的内部法——状态变量法是用n个状态 变量的一阶微分或差分方程组(状态方程)来描述系 统。优点有：(1)提供系统的内部特性以便研究。 (2)便于分析多输入多输出系统； (3)一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。

8.1 状态变量与状态方程 一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。 这时可列出方程R1 iL1 L1

a auC

iL2 L2 iC

R2

us1

u

us2

du C C iL 2 iL1 0 dt d iL1 R1iL1 L1 uC uS1 0 dt d iL 2 L2 R2iL 2 uS 2 uC 0 dt

d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R1 1 uC iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R2 1 uC iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2

R1 iL1

L1

a iL2 L2 iC

R2

us1

uC

u

us2

d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R 1 uC 1 iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R2 1 uC iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2

这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。 u (t ) R 2 i L 2 (t ) u S 2 (t ) 系统的输出容易地由 iC (t ) i L1 (t ) i L 2 (t ) 三个内部变量和激励求 出： 一组代数方程

状态与状态变量的定义系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。 在初始时刻的值称为初始状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。 说明(1)系统中任何响应均可表示成状态变量及 输入的线性组合；(2)状态变量应线性独立； (3)状态变量的选择并不是唯一的

。

二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： (1)第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； (2)第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。

通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。

对于一般的n阶多输入-多 输出LTI连续系统，如图 。 其状态方程和输出方程为

f1(t) f2(t) ┇ fp(t)

{xi(t0)}

y1(t) y2(t) ┇ yq(t)

x1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2n x n b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p

y1 c11 x1 c12 x 2 c1n x n d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y 2 c 21 x1 c 22 x 2 c 2n x n d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p y q c q1 x1 c q 2 x 2 c qn x n d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p

写成矩阵形式： 状态方程

x(t ) Ax(t ) Bf (t ) 输出方程 y (t ) Cx(t ) Df (t )

其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵 对离散系统，类似

状态方程

x(k 1) Ax(k ) Bf (k ) 输出方程 y(k ) Cx(k ) Df (k )

状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。

8.2 连续系统状态方程的建立 一、由电路图直接建立状态方程首先选择状态变量 。 通常选电容电压和电 感电流为状态变量。 必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。uC1 uC1

uC2

uC3

us

uC2

(a) 任选两个电容电压 独立

(b) 任选一个电容电压 独立 iL1

iL1

iL3

iL2

is

iL2

四种非独立的电路结构(c) 任选两个电感电流 独立 (d) 任选一个电感电流 独立

状态方程的建立： 根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。

由于 iC C d u C dt

d iL uL L dt

为使方程中含有状态变量uC的一阶导数 ， 可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程； 为使方程中含有状态变量iL的一阶导数 ， 可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。

对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消 去其它中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。

由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤： (1)选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为 状态变量； (2)对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方程， 对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程； (3)若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状 态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去， 然后整理给出标准的状态方程形式； (4)用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直 接列写输出方程，并整理成标准形式。

例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电 流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。 L a R2 iR2 a R 1 iL 解 选状态变量 uR1 x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t)L x 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) C x 2(t) + iR2(t) = x1(t) 消去 iR2(t),列右网孔KVL方程：R2iR2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0uS1 uC C

uS2

代入整理得

输出方程： uR1(t) = R1x1(t)

x1 (t ) x (t ) 2

R1 L 1 C

1 1 L x1 (t ) L 1 x (t ) 2 0 R2 C

0 u (t ) s1 1 u (t ) s2 R2 C

二、由输入-输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是：已知系统的外部描述(输入-输出方程、系统函数、 模拟框图、信号流图等);如何写出其状态方程及输 出方程。

具体方法：(1)由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出 其信号流图或框图； (2)选一阶子系统(积分器)的输出作为状态变量； (3)根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方 程； (4)在系统的输出端列输出方程。

例1 某系统的微分方程为 y (t) + 3 y (t) + 2y(t) = 2 f (t) +8 f (t) 试求该系统的状态方程和输出方程。方法一：画出直接形式的信号流图

2( s 4) 解由微分方程不难写出其系统函数 H ( s) 2 s 3s 2设状态变量x1(t)、 x2(t) 由后一个积分器，有由前一个积分器，有2 1 f(t) s 1 -3 s 1 8

x1 x2

x2-2

x1

y(t)

x2 2 x1 3x2 f系统输出端，有 y(t) =8 x1+2 x2

方法二： H ( s) 2( s 4) s 4 2 2

s 3s 2f(t)

s 1 s 21 4

画出串联形式的信号流图设状态变量x1(t)、 x2(t)

1 1 s 1 -1

x

y1 1

x2 s

1

2

x1 x1 f设中间变量 y1(t)

x1

-2

x2

y(t)

y1 x1 4 x1 3x1 f

x2 y1 2 x2 3x1 2 x2 f 系统输出端，有 x1 1 0 x1 1 x 3 2 x 1 [ f ] y(t) =2 x2 2 2

方法三：H ( s) 2( s 4) 6 4 2

s 3s 2

s 1 s 21

画出并联形式的信号流图设状态变量x1(t)、 x2(t)

x1 s x2s

1

6

x1 x1 f x2 2 x2 f

x1-1

f(t)

1

1

-4

y(t)

x1 1 0 x1 1 x 0 2 x 1 [ f ] 2 2 系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2

x2-2

可见H(s)相同的系统， 状态变量的选择并不 唯一。

例2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其 y2(t) 状态方程和输出方程。 解 对三个一阶系统∑ f(t)

x1 x1 y2其中， y2= f - x3

1 x1(t) s 1

s 4 x2(t) s 2

y1(t)

x3(t)

x1 x1 x3 f x2 2 x2 x1 4 x1 3x1 x3 f 输出方程 x2 3x1 2 x2 x3 f y1(t) = x2 x3 3x3 x2 x3 x2 3x3 y2(t) = -x3 + f

1 s 3

三、由状态方程列输入-输出方程 4 1 1 例3 已知某系统的动态 x(t ) x(t ) 1 [ f (t )] 3 0 方程如下，列出描述y(t) 与f(t)之间的微分方程。 y (t ) 1 0 x(t )解法一 由输出方程得 y(t)=x1(t) y (t)=x1 (t) = – 4 x1(t) + x2(t)+ f(t) y (t)=– 4 x1 (t) + x2 (t)+ f (t) =–4[–4 x1(t) + x2(t)+ f (t)] + [–3 x1(t) + f (t)] + f (t) =13 x1(t) –4x2(t) –3 f (t) + f (t) y +a y + by=(13 –4a +b) x1+(–4+a) x2+ f (t) +(a–3) f (t) y +4 y + 3y= f (t) + f (t) a=4,b=3

4 解法二 对方程取拉氏变换， (t ) x 3 零状态。

1 1 x(t ) 1 [ f (t )] 0

4 sX( s ) 3

1 1 X( s ) 1 F ( s ) 0

4 1 1 ( sI ) X( s ) 1 F ( s ) 3 0

4 1 1 1 X( s ) ( sI ) 1 F ( s ) 3 0

Y ( s) 1 0 X( s) 4 1 1 1 Y ( s ) 1 0 ( sI ) 1 F ( s ) 3 0

4 1 1 1 Y ( s) H ( s) 1 0 ( sI ) 1 F (s) 3 0 1 s 1 3 s 4 4 1 1 s 4 1 ( sI ) 3 s 2 4s 3 s 3 0

1 s 1 s 1 3 s 4 1 s 1 1 H ( s ) 1 0 2 1 s 2 4 s 3 s 2 4 s 3 s 4s 3 y +4 y + 3y= f (t) + f (t)

8.3

离散系统状态方程的建立

与连续系统类似，具体方法为：(1)由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其 信号流图或框图；

(2)选一阶子系统(迟延器)的输出作为状态变量；(3)根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程； (4)在系统的输出端列输出方程。