第 12 页 共 13 页 22．已知定义域为R 的函数3()3x

x a f x a

-=+是奇函数. （1）求a 的值；

（2）判断()f x 在(,)-∞+∞上的单调性，并用定义证明；

（3）解不等式()2(3)0f x x f x ++-<.

【答案】（1）1a =；（2）该函数为减函数，证明见解析；（3）{|3x x <-或1}x >.

【分析】（1）由1(0)=01a f a -=

+可得解； （2）由2()131x f x =

-+结合指数函数的单调性可判断单调性，利用单调性的定义可证明；

（3）结合函数的奇偶性和单调性可得()

2(3)f x x f x +<-，从而得23x x x +>-，进而得解. 【详解】（1）函数3()3x

x a f x a

-=+是R 上的奇函数，所以1(0)=01a f a -=+， 解得：1a =，经检验满足题意；

（2）由（1）值132()13131

x x x f x -==-++，可判断该函数为减函数，证明如下： 设120x x <<，

211212*********(33)()()1131313131(31)(31)

x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， ∵120x x <<，211233,310,310x x x x ∴>+>+>，

所以12())0(f x f x ->，12()()f x f x >，()f x 单调递减；

（3）因为()f x 是R 上的奇函数，且单调递减，

所以()()22(3)0(3)(3)f x x f x f x x f x f x ++-<⇔+<--=-，

所以23x x x +>-，解得3x <-或1x >，

所以解集为{|3x x <-或1}x >.

【点睛】关键点点睛：本题指数型复合函数的奇偶性和单调性．函数的单调性的证明基本方法是单调性定义，步骤：（1）设12x x <，（2）作差

12()()f x f x -，（3）判断差的正负，（4）得结论．