第 11 页 共 13 页 综上1,-10(),011,12x x f x x x x x +≤<⎧⎪=≤<⎨⎪-≤<⎩

；

（2）()f x 图象如图所示：；

（3）由图象可得()f x 的值域为[0,1)

21．南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用(04)x x ≤≤万元满足131

m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.

（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数；

（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？

【答案】（1）1656([0,4])1

y x x x =--∈+；（2）3万元. 【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；

（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值.

【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162m m

+⨯， 8162(816)816m y m m x m x m

+∴=⋅⨯-++=+- 181631x x ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭ 16561

x x =--+([0,4])x ∈； （2）由1616165657(1)572(1)49111y x x x x x x ⎡⎤=--=-++≤-⋅+=⎢⎥+++⎣⎦

， 当且仅当1611

x x =++，即3x =时取等号. 故该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.

【点睛】本题考查分式函数模型的应用，涉及用基本不等式求最值，属综合基础题.