理数试卷 - 第 4 页 共 4 页 JXHY- -0591-******** 21.为做好2020年的采购、销售计划，某商城从近三年的销售记录中随机抽取了50天的日纯利润数据，并制成如下频率分布直方图：

（1）由频率分布直方图可以认为，该商城近三年的日纯利润Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数

x （每组数据取区间的中点值），2σ近似为样本方差2s ，经计算得 2.63s ≈.现从近三年的销售记录中任取6天，记其中日纯利润恰好在14.77万元至22.66万元之间的天数为X ，求X 的数学期望；

（2）为提升2020年“五一”假期期间的销售业绩，该商城决定在“五一”期间推出一档“你购物，我送福”的有奖闯关活动，凡一次性购物满100元的顾客均可参加一次该活动.活动规则如下：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第80格，共81个方格，顾客可根据抛硬币的结果，在方格图上移动一枚棋子.若这枚棋子最终停在第79格，则认为“闯关成功”，并获得100元现金红包作为奖励；若这枚棋子最终停在第80格，则认为“闯关失败”，只赠送价值5元的小礼品.已知硬

币出现正、反面的概率都是12

，棋子开始在第0格，顾客每掷一次硬币，便将棋子向前移动一次.若掷出正面，则将棋子向前移动一格；若掷出反面，则将棋子向前移动两格，直到棋子移到第79格（闯关成功）或第80格（闯关失败）时，游戏结束.

（ⅰ）设棋子移动到第n 格的概率为n P ，求证：当179n ≤≤时，1{}n n P P --是等比数列；

（ⅱ）试比较顾客闯关成功与失败的概率的大小.

附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为3cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩

（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l π2cos 54ρθ⎛⎫-= ⎪⎝

⎭. （1）求椭圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

（2）直线l 上的两动点M ，N 满足2MN =P 在椭圆C 上，以M ，N ，P 为顶点构造平行四边形PQMN ，求平行四边形PQMN 面积的最大值.

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知a ，b ，c 均为正实数，且222441a b c ++=.

（1）证明：222111944a b c ++≥；（2）比较212a -与1128bc

-的大小.