第二类曲线积分的计算(复习知识)(4)

练题 4 1lim ()n i i i

i Q Y λξη→∞=-∆∑为函数Q （x ，y ）按从A 到B 的方向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分，记作(,)L

Q x y dy ⎰

2. 2 第二类曲线积分的参数计算法

首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是

201(,)lim (,)n i i i l i f x y ds s λξη→==∆∑⎰

第二类曲线积分就是

01(,)(,)lim (,)(,)n i i i i i

i l i P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）

这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的

i s ∆，i s ∆是一小段弧的弧长，i s ∆总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的,x y 坐标的增量

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,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-，i x ∆与i y ∆是可正可负的。当积分的路径反向时，i s ∆不变，而i x ∆，i y ∆反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。

设曲线l 的参数方程为

(),(),x x t t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩

则第一类曲线积分的计算公式为

22

22'''2'2()()()()ds dx dy x t dt y t dt x t dt t dt σ⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦=+