第二类曲线积分的计算(复习知识)(3)

练题 3 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形

式:⎰⋅L s d F .

(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,

),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++⎰

按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=

AB Qdy Pdx W .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ⎰⎰-=BA AB ,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二型曲线积分

⎰++AB dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.

2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念

设函数在平面P(x ，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点(,)(0,1,2

)i i i M X Y i n =将曲线L 从起点A 到B 分为n 个有向小弧的长度(,)i i i l ξη∀∈∆，作和式 1(,)()

n

i i i i i i P X X X ξη-∆-∑。记{}1max i i n l λ≤≤=∆，若极限1lim ()n i i i i P X I λξη→∞=-∆=∑存在，且对曲线L 的分点及点 的选取方式无关，则称此极限为函数P(x,y)按从A 到 B 的方向沿曲线L 对坐标x 的曲线积分，记作的曲线积分 记作

1(,)lim ()n i i i i L P x y dx P X λξη→∞==-∆∑⎰，其中P （x ，y ）称为被积函数，L 称为被积路径，对

坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。

类似的，设函数Q （x ，y ）在xy 平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线L （AB ）上有定义且有界。若对于L 的任意分法和(,)i i ξη的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值(,)i i ξη(,)L

P x y dx ⎰