微分中值定理证明中辅助函数的构造(2)

微分中值定理证明中辅助函数的构造

12 高 师 理 科 学 刊 第29卷 对复数(x a)+i(f(x) f(a))作复数乘法运算

[(x a)+i(f(x) f(a))][(b a) i(f(b) f(a))]=[(b a)(x a)+(f(b) f(a))(f(x) f(a))]+

i[(b a)(f(x) f(a)) (f(b) f(a))(x a)]

作辅助函数 5(x)=(b a)(f(x) f(a)) (f(b) f(a))(x a)，显然， 5(a)= 5(b)=0，由拉格朗日定理的条件知， 5(x)在[a, b]上满足罗尔中值定理的条件．

注 辅助函数 5(x)=(b a)(f(x) f(a)) (f(b) f(a))(x a)就是文献[4]中的面积法构造的辅助函数，同时也是文献[5]中行列式法构造的行列式形式辅助函数的展开式的结果．

分析5 如同分析4，对复数(x a)+i(f(x) f(a))作复数乘法运算

[(x a)+i(f(x) f(a))] 1 i f(b) f(a) f(b) f(a) xa()(f(x)f(a))= + + b aba

f(b) f(a) i f(x) f(a) (x a) b a

f(b) f(a)显然， 6(x)在[a, b]上满足罗尔中值定理的条件． (x a)．b a

f(b) f(a)注 这里的辅助函数 6(x)=f(x) f(a) (x a)就是文献[6]中曲线函数y=f(x)与其弦b a

f(b) f(a)AB的函数y=f(a) (x a)（a≤x≤b）的差构造的辅助函数． b a

同样地，对复数(x a)+i(f(x) f(a))用辐角为 θ的复数cosθ isinθ，1 itanθ，1 ik（k为曲线弦

f(b) f(a)AB的斜率），1 i为乘数作复数乘法运算也可得到所需满足条件的辅助函数． b a作辅助函数 6(x)=f(x) f(a)

另外，由图3所示，如果先作向量运算= =(x b, f(x) f(b))，再对复数(x b)+i(f(x) f(b))用复数cosθ isinθ，1 itanθ，1 ik（k为曲线

f(b) f(a)弦AB的斜率），1 i，(b a)+i(f(b) f(a))为乘数作复数b a

乘法运算，也可得到一系列符合条件的辅助函数．

f(a)+f(b) i f(x) 用辐角为 θ的复数cosθ isinθ，1 itanθ，1 ik2

（k为曲线弦AB的斜率）为乘数作复数乘法运算，同样可得到一系列所需要的符合条件的辅助函数． a+bf(a)+f(b) 如果取曲线弦AB的中点P , ，先作向量运算 2 2 f(a)+f(b) a+ba+b 再对复数 x = = x , f(x) ， + 222 3 柯西中值定理证明中辅助函数的构造

对于柯西中值定理，只要对复数用复数cosθ isinθ，1 itanθ（tanθ=f(b) f(a)f(b) f(a)），，1 ig(b) g(a)g(b) g(a)1 ik（k=f(b) f(a)），(g(b) g(a))+i(f(b) f(a))为乘数作复数乘法运算均可构造出所需满足条件的g(b) g(a)

辅助函数，同时，如果先作类似拉格朗日中值定理证明中的向量运算，再作相应的复数乘法运算，一样可得到一系列所需符合条件的辅助函数，由于处理的方法完全相同，这里就不再赘述了．

参考文献：

[1] 刘振航．关于拉格朗日中值定理的证明[J]．天津商学院学报，2002（5）：35-36．

[2] 张艳丽，周香孔．拉格朗日微分中值定理几种不同的证法[J]．衡水师专学报，2004（2）：1-3．

[3] 张家秀．关于构造辅助函数的几种方法[J]．高等理科教育，2003（3）

：126-128．