微分中值定理证明中辅助函数的构造

微分中值定理证明中辅助函数的构造

第29卷 第2期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 29 No.2 2009年 3 月 Journal of Science of Teachers′College and University Mar. 2009 文章编号：1007-9831（2009）02-0010-04

微分中值定理证明中辅助函数的构造

宋振云，陈少元，涂琼霞

（湖北职业技术学院 信息技术学院，湖北 孝感 432000）

摘要：由复数x+yi与直角坐标平面上的点(x, y)(x, y∈R)的一一对应关系，将复平面与直角坐标平面看成是一致的，通过复数乘法运算构造出一系列拉格朗日中值定理证明中满足罗尔中值定理条件的辅助函数，并明确指出了柯西中值定理证明中辅助函数的构造方法．

关键词：微分中值定理；复数乘法；辅助函数

中图分类号：O172.1 文献标识码：A

在微积分学里，关于拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明，除教科书上给出的方法外，不少文献也分别介绍了从不同角度进行分析研究，通过构造辅助函数，应用罗尔中值定理进行证明的方法．鉴于拉格朗日中值定理和柯西中值定理与罗尔中值定理的特殊关联关系，作者经过更详细的分析研究，通过化繁为简，从一般到特殊，找到了一种运用复数乘法运算构造符合罗尔中值定理条件的辅助函数的新的构造方法，应用这种方法可以构造出证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理所需要的各种不同形式的辅助函数，并且思路清晰，方法灵活．

基于问题的需要，在介绍新的方法之前，需要明确一点：由于复数x+yi与直角坐标平面上的点(x, y)(x, y∈R)一一对应，所以，可以把复平面与直角坐标平面看成是一致的．

1 用复数乘法运算构造辅助函数证明拉格朗日中值定理

π 证明1 如图1所示，设曲线弦AB的倾斜角为θ 0<θ<π, θ≠ ，2

f(b) f(a)．取曲线y=f(x)上任意一点M(x, f(x))（x∈ 则tanθ=b a

[a, b]），对复数x+if(x)作复数乘法运算：(x+if(x))[cos( θ)+isin( θ)]=

(xcosθ+f(x)sinθ)+i(f(x)cosθ xsinθ)，作辅助函数 (x)=f(x)cosθ

f(b) f(a)xsinθ，注意到tanθ=，则 (a)=f(a)cosθ asinθ= b a

f(b)cosθ bsinθ= (b)． 由拉格朗日中值定理的条件可知， (x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可

，使 ′(ξ)=0，即f′(ξ)cosθ sinθ=0，从而导，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点ξ（a<ξ<b）

f(b) f(a)f′(ξ)=tanθ=． 证毕． b a

显然，这种用复数乘法运算构造辅助函数的方法十分有效，通过从几何上对罗尔中值定理和拉格朗日中值定理作一个简单的比较，可以明确这种方法的实际含义．复数乘法运算收稿日期：2008-12-09

基金项目：湖北省高等学校省级教学基金资助项目（20060422）

作者简介：宋振云（1958-），男，湖北孝感人，副教授，从事数学教育研究．E-mail：hbsy12358@

微分中值定理证明中辅助函数的构造

第2期 宋振云，等：微分中值定理证明中辅助函数的构造 11 (x+if(x))[cos( θ)+isin( θ)]就是将拉格朗日中值定理中的曲线y=f(x)沿顺时针方向旋转了θ角，其结果就是使曲线旋转后曲线弦AB平行于x轴，从而使拉格朗日中值定理中曲线的一般情形变成了罗尔中值定理中曲线的特殊情形，从思维上讲，这就是化繁为简，化一般为特殊的思想方法．

注 这里的辅助函数 (x)=f(x)cosθ xsinθ就是文献[1]坐标轴旋转法构造的辅助函数．

π f(b) f(a) ．取曲线 证明2 如图1所示，设曲线弦AB的倾斜角为θ 0<θ<π, θ≠ ，则tanθ=b a2

y=f(x)上任意一点M(x, f(x))（x∈[a, b]），对复数x+if(x)作复数乘法运算：(x+if(x))(1 itanθ)= (x+f(x)tanθ)+i(f(x) xtanθ)．

f(b) f(a)，即f(a) atanθ=f(b) btanθ，则b a

1(a)= 1(b)，由拉格朗日中值定理的条件知， 1(x)在[a, b]上满足罗尔中值定理的条件，因此至少存在

f(b) f(a)′(ξ)=0，即f′(ξ) tanθ=0，所以f′(ξ)=tanθ=一点ξ（a<ξ<b），使 1． 证毕． b a

应该说明的是，证明1和证明2都是通过对复数x+if(x)作简单的复数乘法运算就完成了曲线y=f(x)作辅助函数 1(x)=f(x) xtanθ．注意到tanθ=沿顺时针方向的旋转，而且得到了证明拉格朗日中值定理所需要的辅助函数 (x)=f(x)cosθ xsinθ和 1(x)=f(x) xtanθ，其复数乘法运算中的乘数cosθ isinθ和1 itanθ都是辐角为 θ的复数．因此，可以考虑辐角为 θ的其它复数作乘法，从而得到所需要的辅助函数．

2 拉格朗日中值定理证明中辅助函数的多样性

应用上述辅助函数的构造方法，同样可以构造出证明拉格朗日中值定理所需要的并且符合要求的各种各样的辅助函数．由于众所熟知的原因，只给出证明拉格朗日中值定理所需辅助函数的构造方法，而略去其详细证明．

分析1 取曲线y=f(x)上任意一点M(x, f(x))（x∈[a, b]），对x+if(x)作复数乘法运算

f(b) f(a) f(b) f(a)f(b) f(a) (x+if(x)) 1 if(x) +i f(x) x = x+b ab ab a

bf(a) af(b)f(b) f(a)作辅助函数 2(x)=f(x) x，则 2(a)== 2(b)，由拉格朗日定理的条件知，b ab a

2(x)在[a, b]上满足罗尔中值定理的条件．

注 这里的辅助函数 2(x)=f(x)

分析2 令f(b) f(a)x就是文献[2]中原函数法构造的辅助函数． b af(b) f(a)=k，取曲线y=f(x)上任意一点M(x, f(x))（x∈[a, b]）， 对复数x+if(x)作b a