微积分课件第一章

第一章

第四节 基本初等函数与初等函数一、基本初等函数 二、初等函数

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一、基本初等函数与初等函数1.基本初等函数 (1) 常量函数 y=C(C为常数) (2) 幂函数 y x ( R, 0为常数)

y

y x(1,1)

y x21

y

x

o1 y x

1

x

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注: 幂函数 x 的定义域随 的不同而不同. 1) 当 为正整数时， x 的定义域为 ( , ).

2) 当 为负整数时， x 的定义域为 ( ,0)和(0, ).,如x , x 的定义域 3) 当μ为分数时，情况比较复杂 为( , );x1 2 2 7 2 3 3 5 5 3

, x 的定义域为 ( ,0)和(0, );

x 的定义域为 [0, ).

4) 当 为无理数时,规定 x 的定义域为 (0, )

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(3) 指数函数 y a

x

(a 0, a 1)

y e

x

1 x y ( ) a

y ax

(a 1) (0,1)

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(4) 对数函数 y loga x

(a 0, a 1) y ln x

y log a x(1,0)

(a 1)

y log 1 xa

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(5)三角函数

常用的三角函数有： 正弦函数余弦函数

y sin x

y=sin x;y=cos x;

y=sin x与y=cos x 的定义域均为 ( , ) ,它们 都是以 2 π 为周期的函数，都是有界函数.

y cos x

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正切函数

y=tan x 2 ( n 0, 1, 2, )以外的全体实数 .

定义域为除去x n

y tan x

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余切函数

y=cot x

定义域为除去 x n (n 0, 1, 2, )以外的全体实数 .

y cot x

注：tan x与cot x是以 为周期的周期函数，并且 在其定义域内是无界函数.sin x , tan x及cot x是奇函数， cos x是偶函数.

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正割函数 y=secx

y sec x

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余割函数 y=cscxy csc x

注：正割函数和余割函数它们都是以 2 为周期的函 数，并且在开区间 (0, π ) 内都是无界函数，且有1 1 sec x , csc x cos x sin x2

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(6)反三角函数 三角函数y=sin x, y=cos x, y=tan x和 y=cot x的反函 数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，

称为主值分支，分别记作

π π 反正弦函数 y arcsin x, y [ , ], 定义域为 [ 1,1]; 2 2反余弦函数 y arccos x, y [0, π], 定义域为 [ 1,1];

π π 反正切函数 y arctan x, y ( , ), 定义域为( , ); 2 2反余切函数 y arc cot x, y (0, π), 定义域为( , ).

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反正弦函数

y arcsin x

y arcsin x

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反余弦函数

y arccos x

y arccos x

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反正切函数

y arctan xy arctan x

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反余切函数

y arc cot x

y arccot xy arccot x

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2.初等函数 由基本初等函数 经过有限次四则运算和有限次复合运 算所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .

3x 2 例如 函数 y ax bx c, y , 4x 62

x, x 0 可表为 y 例如 , y x,

x 0

x , 故为初等函数.

2

y ln

( x 2 1) cos 2 x x 1 5

x

等都是初等函数；

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非初等函数举例: 1) 符号函数； 2) 取整函数; 3)

2 x , x 0 y x , 也是非初等函数 e , x ≥ 0

4) 大部分的分段函数都是非初等函数

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第五节 经济学中常用的几个函数一、需求函数与供给函数 二、成本函数、收益函数、 利润函数(板书)

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内容小结1. 集合及映射的概念 2. 函数的定义及函数的二要素 3. 函数的特性 4. 初等函数的结构 定义域

对应法则

有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性

5. 经济学中常用的几个函数

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1.设函数 y f ( x) , x ( , ) 的图形与 x a ,

x b (a b)均对称, 求证 y f ( x) 是周期函数. 证: 由 f ( x) 的对称性知

f (a x) f (a x),于是

f (b x) f (b x) f ( 2a x )

f ( x) f a ( x a)

故 f ( x) 是周期函数 , 周期为机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2

y

x2 , 1 x 0 ln x , 0 x 1 的反函数及其定义域. 2 e x 1 , 1 x 2 y2

解 : 当 1 x 0 时 , y x ( 0 , 1] , 则 x y , y ( 0 , 1] 当 0 x 1 时, y ln x ( , 0 ] , 则 x e , y ( , 0] 当 1 x 2 时, y 2 e x 1 ( 2 , 2 e ] , y 则 x 1 ln 2 , y ( 2, 2e ] 反函数 y y

2e

2

1 1 o 1

2x

定义域为

( , 1] ( 2 , 2 e ]机动 目录 上页 下页 返回 结束