第二章第3讲_卷积
时间:2025-04-03
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2.6一、定义:
卷 积
设函数f1(t) 与函数f2(t)具有相同的自变量t,将f1(t)与 f2(t)经如下的积分,可得到第三个相同自变量的函数 g(t),即
f(t ) 此积分称为卷积 积分,记为:
f1( ) f2(t ) d
f(t ) f1(t ) f2(t )
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(一)、卷积的图解计算 两个矩形波f1(t)与 f2(t) 如图所示f1(t)1
f2(t)c
2
t
1
t
1 0 t 2 f1 (t ) 0 其它求解 f1(t) f2(t)
c 0 t 1 f 2 (t ) 0 其它
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f(t ) f1(t ) f2(t ) 解:1、变量置换:f1( ) 1 2
f1( ) f2(t ) d f2( ) c
f2(- )c
1
2、反褶:-1
0
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f2(- )
3、平移:将f(- )沿时间轴 平移t,t为参变量 t>0时向右平移,t<0 时向左平移f2(t- ) c -1
c
0
f 2 ( ( t )) f 2 (t )f2(t- ) c
-1
0 t-1 t
t-1
t
-1
0
随t取值不同,f2(t- )出现在不同位置信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
4、相乘:将f1( )和 f2(t- )相乘f1 ( ) 1 2 c f2(t- ) f1( )f2(t- )
c
t-1 0 t
t-1 0 t
c
f1( )f2(t- )
5、积分阴影的面积,即g(t)的值,是 一个t的函数
t-1 0
t
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f1( ) 1 f2(- ) 2 1
f1( ) 1 f2(1- ) 2
f1( ) 1 f2(2- ) 2
f1( )
f2(3- )
2
c
c
c
c
-1
0
f1( ) f2(- )
0
1
0
1
0 f1( ) f2(3- )
3
f1( ) f2(1- )
f1( ) f2(2- )
0
c
0 1g(t)
0
2
0
2 信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 1 weixzh@
t
(二)、卷积的解析计算
f1 (t ) f 2 (t ) 1、积分限的确定:
f1 ( ) f 2 (t )d
A、设f1(t)是有始函数, f2(t)不受此限
f1 ( ) f1 ( )u( )
g (t )
f1 ( )u( ) f 2 (t )d
f1 ( ) f 2 (t )d 0
积分下限为0信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
B、t<0时,f2(t)=0, f1(t)不受此限 即,当 >t时, f2(t- )=0,
g (t ) 积分上限为 t
t
f1 ( ) f 2 (t )d
C、将A、B两个条件合并: t<0时,f1(t)=0, f2(t)=0
g (t )
f1 ( )u( ) f 2 (t )u(t )d
积分上限为 t,下限为0
f1 ( ) f 2 (t )d 0信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
t
卷积的被积函数是有始函数,卷积也是有始函数
0 f1 ( ) f 2 (t
)d t 0 g (t ) t 0 0t
f1 ( ) f 2 (t )d u(t )0
t
2、起始时刻的确定: 若f1(t)从t1时刻起始,f2(t) 从t2时刻起始,即:
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d t1 t t2 t
积分限是: 例:
f1(t ) 2e u(t )g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
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f1( ) 2 0 2 1 0
f2( )
2
f2(- ) 1
首先将f2( )反褶 再将f2(- )沿 轴平移t
0 1 t-2 t 0
2 f2(t- )
用图解法进行分段积分,求出g(t)信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 2 0 1 2 2 0
f1( ) 2 2 f2(1- ) 0
f1( ) 2 2 0
f1 ( )
f2(- ) 1 2f1( ) f2(- )
f2(2- ) 1
2 f2(3- )
1 2 0 3 f1( ) f2(3- ) 1 3
0
02 0
1
02 0
f1( ) f2(1- ) 1 g(t)
f1( ) f2(2- )
0
2
0
0
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 t weixzh@
当t<0时,f1( )f2(t- )=0,所以g1(t)=0 当0 t 2时,f1( )与f2(t- ) 有部分重迭,积分限 0 t,g2(t)为:
g2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
t
2e 1 d 0
0 t
2(1 e )信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
t
当2 t< 时,f2(t- ) 完全落在f1( )上,积分限 t-2 t, g3(t)为:
g3 (t ) 2e 1 d 2e (e 1)
t
t
2
t 2
对以上结果用一个函数表达:
g(t ) 2(1 e )[u(t ) u(t 2)] 2e (e 1)u(t 2)2信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
t
t
2.7卷积的性质 一: 卷积代数: 1.交换律:
f1 (t ) * f 2 (t ) f 2 (t ) * f1 (t )证明:将积分变量替换,
t
f 1 (t ) * f 2 (t )
f 1 ( ) * f 2 (t )
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f 2 ( ) * f 1 (t ) d f 2 (t ) * f 1 (t )
2.分配律:
f1(t) *[ f2 (t) f3 (t)] f1(t) * f2 (t) f1(t) * f3 (t)e(t)h1(t)
e(t)*[h1(t)+h2(t)]
h2(t)
分配律应用于系统分析,相当于并联系统的冲激响应, 等于并联的各子系统冲激响应之和信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
3.结合律:
[ f1 (t ) * f 2 (t )]* f 3 (t ) f1 (t ) *[ f 2 (t ) * f 3 (t )]两次卷积运算是二重积分,改变积分次序即可证明 此定律.e(t) h1(t) h2(t) r(t)=e(t)*[h1(t)*h2(t)]
结合律应用于系统分
析,相当于串联系统的冲激响 …… 此处隐藏:1539字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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