2.6一、定义：

卷 积

设函数f1(t) 与函数f2(t)具有相同的自变量t,将f1(t)与 f2(t)经如下的积分，可得到第三个相同自变量的函数 g(t),即

f(t ) 此积分称为卷积 积分，记为：

f1( ) f2(t ) d

f(t ) f1(t ) f2(t )

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

(一)、卷积的图解计算 两个矩形波f1(t)与 f2(t) 如图所示f1(t)1

f2(t)c

2

t

1

t

1 0 t 2 f1 (t ) 0 其它求解 f1(t) f2(t)

c 0 t 1 f 2 (t ) 0 其它

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

f(t ) f1(t ) f2(t ) 解：1、变量置换：f1( ) 1 2

f1( ) f2(t ) d f2( ) c

f2(- )c

1

2、反褶：-1

0

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

f2(- )

3、平移：将f(- )沿时间轴 平移t,t为参变量 t>0时向右平移，t<0 时向左平移f2(t- ) c -1

c

0

f 2 ( ( t )) f 2 (t )f2(t- ) c

-1

0 t-1 t

t-1

t

-1

0

随t取值不同，f2(t- )出现在不同位置信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

4、相乘：将f1( )和 f2(t- )相乘f1 ( ) 1 2 c f2(t- ) f1( )f2(t- )

c

t-1 0 t

t-1 0 t

c

f1( )f2(t- )

5、积分阴影的面积，即g(t)的值，是 一个t的函数

t-1 0

t

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

f1( ) 1 f2(- ) 2 1

f1( ) 1 f2(1- ) 2

f1( ) 1 f2(2- ) 2

f1( )

f2(3- )

2

c

c

c

c

-1

0

f1( ) f2(- )

0

1

0

1

0 f1( ) f2(3- )

3

f1( ) f2(1- )

f1( ) f2(2- )

0

c

0 1g(t)

0

2

0

2 信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 1 weixzh@

t

(二)、卷积的解析计算

f1 (t ) f 2 (t ) 1、积分限的确定：

f1 ( ) f 2 (t )d

A、设f1(t)是有始函数， f2(t)不受此限

f1 ( ) f1 ( )u( )

g (t )

f1 ( )u( ) f 2 (t )d

f1 ( ) f 2 (t )d 0

积分下限为0信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

B、t<0时，f2(t)=0, f1(t)不受此限 即，当 >t时， f2(t- )=0,

g (t ) 积分上限为 t

t

f1 ( ) f 2 (t )d

C、将A、B两个条件合并： t<0时，f1(t)=0, f2(t)=0

g (t )

f1 ( )u( ) f 2 (t )u(t )d

积分上限为 t,下限为0

f1 ( ) f 2 (t )d 0信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

t

卷积的被积函数是有始函数，卷积也是有始函数

0 f1 ( ) f 2 (t

)d t 0 g (t ) t 0 0t

f1 ( ) f 2 (t )d u(t )0

t

2、起始时刻的确定： 若f1(t)从t1时刻起始，f2(t) 从t2时刻起始，即：

[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d

t t2

t1

f1 ( ) f 2 (t )d t1 t t2 t

积分限是： 例：

f1(t ) 2e u(t )g (t )

f 2 (t ) u(t ) u(t 2)

求

f1 ( ) f 2 (t )d

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

f1( ) 2 0 2 1 0

f2( )

2

f2(- ) 1

首先将f2( )反褶 再将f2(- )沿 轴平移t

0 1 t-2 t 0

2 f2(t- )

用图解法进行分段积分，求出g(t)信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

f1( ) 2 0 1 2 2 0

f1( ) 2 2 f2(1- ) 0

f1( ) 2 2 0

f1 ( )

f2(- ) 1 2f1( ) f2(- )

f2(2- ) 1

2 f2(3- )

1 2 0 3 f1( ) f2(3- ) 1 3

0

02 0

1

02 0

f1( ) f2(1- ) 1 g(t)

f1( ) f2(2- )

0

2

0

0

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 t weixzh@

当t<0时，f1( )f2(t- )=0,所以g1(t)=0 当0 t 2时，f1( )与f2(t- ) 有部分重迭，积分限 0 t,g2(t)为：

g2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d

t

2e 1 d 0

0 t

2(1 e )信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

t

当2 t< 时，f2(t- ) 完全落在f1( )上，积分限 t-2 t, g3(t)为：

g3 (t ) 2e 1 d 2e (e 1)

t

t

2

t 2

对以上结果用一个函数表达：

g(t ) 2(1 e )[u(t ) u(t 2)] 2e (e 1)u(t 2)2信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

t

t

2.7卷积的性质 一: 卷积代数: 1.交换律:

f1 (t ) * f 2 (t ) f 2 (t ) * f1 (t )证明:将积分变量替换,

t

f 1 (t ) * f 2 (t )

f 1 ( ) * f 2 (t )

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

f 2 ( ) * f 1 (t ) d f 2 (t ) * f 1 (t )

2.分配律:

f1(t) *[ f2 (t) f3 (t)] f1(t) * f2 (t) f1(t) * f3 (t)e(t)h1(t)

e(t)*[h1(t)+h2(t)]

h2(t)

分配律应用于系统分析,相当于并联系统的冲激响应, 等于并联的各子系统冲激响应之和信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

3.结合律:

[ f1 (t ) * f 2 (t )]* f 3 (t ) f1 (t ) *[ f 2 (t ) * f 3 (t )]两次卷积运算是二重积分,改变积分次序即可证明 此定律.e(t) h1(t) h2(t) r(t)=e(t)*[h1(t)*h2(t)]

结合律应用于系统分

析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

卷积的微分与积分

df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt证明：

d d [ f1 (t ) * f 2 (t )] [ f1 ( ) f 2 (t )d ] dt dt df2 (t ) df2 (t ) [ f1 ( ) d ] f1 (t ) * dt dt 信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

[ f ( ) * f ( )]d f (t) * f ( )d f (t) * f ( )d 1 2 1 2 2 1

t

t

t

证明：

[ f ( ) * f1 t 1

t

2

( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d 2

t

f ( )[ f

( )d ]d f1 (t ) * f 2 ( )d

t

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

与冲激或阶跃函数的卷积f (t ) * (t )

f ( ) (t )d f ( ) ( t )d f (t )

f (t ) * (t t 0 )

f ( ) (t t

0

)d f (t t 0 )

与 (t t0 ) 的卷积,相当于把函数延迟 t 0

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@

与冲激偶的卷积:

f (t ) * (t ) f (t )' '

与单位阶跃的卷积:

f (t ) * u(t )

f ( )d

t

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@