三维坐标变换

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然,因为我们可选取空间任意方向作旋转轴,因此三维变换处理起来更为复杂。

第7章 三维变换

7.1 简介 7.2 三维几何变换 7.3 三维坐标变换

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然,因为我们可选取空间任意方向作旋转轴,因此三维变换处理起来更为复杂。

7.1 简介三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的 直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选 取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理 起来更为复杂。 与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术 来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描 述空间三维变换的变换矩阵是4×4的形式。

由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然,因为我们可选取空间任意方向作旋转轴,因此三维变换处理起来更为复杂。

7.2 三维几何变换7.2.1 基本三维几何变换1. 平移变换 若空间平移量为(tx, ty, tz),则平移变换为 z P’(x’,y’,z’) x x t x y y t y z z t P(x,y,z) z y 1 0 x y z 1 x y z 1 0 t x 0 1 0 ty 0 0 0 1 0 t z 1 0

x

补充说明：点的平移、 物体的平移、多面体 的平移、逆变换

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然,因为我们可选取空间任意方向作旋转轴,因此三维变换处理起来更为复杂。

2. 比例变换(1) 相对坐标原点的比例变换 一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩 阵可表示为

sx 0 x y z 1 x y z 1 0 0

0 sy 0 0

0 0 sz 0

0 0 0 1 y

z

x

x xsx , y ysy , z zsz

其中 sx , sy , sz 为正值。

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然,因为我们可选取空间任意方向作旋转轴,因此三维变换处理起来更为复杂。

(2) 相对于所选定的固定点的比例变换 z z (x f,yf,zf)y x z (x f,yf,zf) (3) (x f,yf,zf) y sx 0 T x f , y f , z f S s x , s y , s z T x f , y f , z f 0 1 s x x f 0 sy 0 1 s y y f 0 0 sz 1 sz z f

(1)y

(x f,yf,zf)x z

(2)

y

x

x0 0 0 1

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然,因为我们可选取空间任意方向作旋转轴,因此三维变换处理起来更为复杂。

3. 绕坐标轴的旋转变换三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变 换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转 轴。 若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴， 则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。 此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变 换矩阵。

规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右 手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针 方向。

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然,因为我们可选取空间任意方向作旋转轴,因此三维变换处理起来更为复杂。

(1)绕 z 轴旋转

x x cos y sin y x sin y cos z zx y z x

y x

zz

(2)绕 x 轴旋转

y y cos z sin z y sin z cos x x xx

y

(3)绕 y 轴旋转

z z cos x sin x z sin x cos y y

z y

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然,因为我们可选取空间任意方向作旋转轴,因此三维变换处理起来更为复杂。

cos sin x y z 1 x y z 1 0 0

sin cos 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

绕 z 轴旋转

0 1 0 cos x y z 1 x y z 1 0 sin 0 0 cos 0 x y z 1 x y z 1 sin 0

0 0 sin 0 cos 0 0 1 0 0 0 1

绕 x 轴旋转

0 sin 1

0 0 cos 0 0

绕 y 轴旋转

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然,因为我们可选取空间任意方向作旋转轴,因此三维变换处理起来更为复杂。

旋转变换矩阵规律:x x

y

z

对于单位矩阵

y

z

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 ,绕哪个坐标轴 0 1

旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图 形变换的情况，将其旋转矩阵 cos sin sin cos

中的元素添入相应的位置中，即

三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然,因为我们可选取空间任意方向作旋转轴,因此三维变换处理起来更为复杂。

(1) 绕z轴正向旋转

角，旋转后点的z坐标值不变, x、y 角旋转。x xy y

坐标的变化相当于在xoy平面内作正

cos sin x y z 1 x y z 1 0 0

sin cos 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

z

z

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

(2)绕x轴正向旋转 角，旋转后点的x坐标值不变， Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正 角旋转。

0 1 0 cos x y z 1 x y z 1 0 sin 0 0

0 0 sin 0 cos 0 0 1

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