数字信号处理课件

第1章 离散时间信号与系统

第三讲 离散时间系统1.2 连续时间信号的采样 1.3 离散时间系统时域分析

1.4 常系数差分方程

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第1章 离散时间信号与系统 采样器可以看成是一个电子开关,设开关每隔T秒短暂地闭 合一次，一般开关闭合时间都是很短的，每次闭合的时间为τ 秒,而且τ越小，采样输出脉冲的幅度就越准确地反映输入信号 在离散时间点上的瞬时值。当τ<<T时，采样脉冲就接近于δ函 数性质。 x (t)

x p (t ) xa (t ) p(t ) x a (t )(b)

a

(a)

xa(t)

o

t s(t)

Tp(t) 1 (c) o xp (t) T t (e) o T t

xa (t )

(d)

o

t

(f)

o

t

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第1章 离散时间信号与系统 1.2.1 理想采样 理想采样就是假设采样开 关闭合时间无限短，即τ→0的 极限情况。此时，采样脉冲序 列p(t)变成冲激函数序列s(t), 这些冲激函数准确地出现在采 样瞬间，面积为1。采样后， 输出理想采样信号的面积(即 积分幅度)则准确地等于输入 信号xa(t)在采样瞬间的幅度。

xa (t ) xa (t )s(t ) xa (t ) xa (t ) n

xa (t ) (t nT ) xa (nT ) (t nT )

s(t )

n

(t nT )

n

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第1章 离散时间信号与系统 1.2.2 理想采样信号的频谱 时域相乘， 则频域(傅里叶变换域)为卷积运算。

若各个信号的傅里叶变换分别表示为:

X a ( j ) S ( j )

xa (t )e

j t

dt

原始模拟信号频谱

s(t )e

j t

dt dt

抽样脉冲信号频谱 已抽样信号频谱

X a ( j )

xa (t )e

j t

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第1章 离散时间信号与系统 则应满足

( j ) 1 X ( j ) S ( j ) Xa a 2

由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函 数，可表示为傅里叶级数，即

s(t ) 此级数的基频为采样频率，即:

k

a ek

jk s t

1 fs T

2 s 2 f s T

一般称fs为频率，单位为赫兹(Hz),Ωs为角频率，单位为弧度/秒; 习惯上都统称为“频率”。 它们的区别由符号f及Ω来识别。

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第1章 离散时间信号与系统 根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得

1 T /2 1 T /2 jk s t ak s(t )e dt T T / 2 T T / 2 1 T /2 1 jk s t (t )e dt T / 2 T T

n

(t nT )e jk t dt s

以上结果的得出是考虑到在|t|≤T/2的积分区间内，只有一个冲激 脉冲δ(t),其他冲激δ(t-nT),n≠0 都在积分区间之外，且利用了 以下关系:

f (0) f (t ) (t )dt

因而

1 jk st s(t ) e T k

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第1章 离散时间信号与系统 由此得出

1 jk st 1 jk s t S ( j ) F[s(t )] F e T F e k

T k 由于

F[e jk s ] 2 ( k s )所以

2 S ( j ) T

k

( k ) ( k )s s k s

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第1章 离散时间信号与系统

1 2 ( j ) Xa T ( k s ) X a ( j ) 2 k 1 X a ( j ) ( k s )d T k 1 X a ( j ) ( k s )d T k 根据冲激函数的性质，可得

1 X a ( j ) X a ( j jk s ) T k

或者

1 ( j ) X j jk 2 Xa a T k T

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第1章 离散时间信号与系统 由此看出，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿 着频率轴以采样频率Ωs=2π/T 为间隔而重复，这就是说频谱产生 了周期性延拓。

也就是说，理想采样信号的频谱， 是Xa(jΩ)的周期延拓函数， 其周期为Ωs,而频谱的幅度则受1/T加权，由于T是常数，所以除 了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。 因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢 复出原信号。

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第1章 离散时间信号与系统 也就是说，如果xa(t)是限带信号，其频谱如图1-10(a)所 示，且最高频谱分量Ωh不超过Ωs/2,即 X a ( j ) X a ( j ) 0 | | s 2 | | s 2

那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠。 这时采 用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器， 就可得到不失真的

原信号频谱。也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。

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第1章 离散时间信号与系统 s 1 xa ( j ) xa ( j jk s ) T k

1 T

s 2 h

h

h

T (t )

T ( j )

t0^

x a (t )

T

2 s s

0

s 2 s^

X a ( j )

h

s h

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第1章 离散时间信号与系统 s 1 xa ( j ) xa ( j jk s ) T k h

1 T

s 2 h

h

T (t )

T ( j )

t0^

T

2 s s

0^

s 2 s

x a (t )

X a ( j )

s

h

s h

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第1章 离散时间信号与系统 s 1 xa ( j ) xa ( j jk s ) T k h

1 T

s 2 h

h

T (t )

T ( j )

t0^

x a (t )

T

2 s s

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