2021届高考数学一轮复习(文理通用)-测试卷22-抛物(11)

于是4＋p 2＝5，∴p ＝2. ∴抛物线方程为y 2＝4x .

(2)∵点A 的坐标是(4,4)，

由题意得B (0,4)，M (0,2)．

又∵F (1,0)，∴k FA ＝43

， ∵MN ⊥FA ，∴k MN ＝－34

. ∴FA 的方程为y ＝43(x －1)，① MN 的方程为y －2＝－34

x ，②

联立①②，解得x ＝85，y ＝45， ∴点N 的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫85，45. 20．（12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△FAB 的面积．

【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，

∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，

∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .

(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M . 由⎩⎪⎨⎪⎧

y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，∴m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ， ∴x 1x 2＝y 2

1y 22

64＝m 2.

由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，

∴m ＝8或m ＝0(舍去)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8,0)．

故S △FAB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.