高等代数

第二学期 高等代数北京大学工学院2012级 2013.10

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第二章 线性变换(1) Linear Transformation

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主题用变与不变的观点研究线性空间 线性变换与线性相关性的关系 确定线性变换的方法

由基的像决定 线性变换的矩阵表示

线性变换与子空间的关系 两重要子空间值域(像空间)和核(零空间)

线性变换下的不变的量： 特征值、不变子空间

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要点

在给定基情况下 线性变换 几何观点

矩阵 代数方法

线性变换在不同基下的矩阵 矩阵的相似 == 不同基下的矩阵表示所具有的共性

线性变换与矩阵联系

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§1 线性变换的定义

理解和掌握映射、单射、满射、双射、可逆映射的 定义 掌握线性变换的定义与基本性质

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映射

两集合从 A 到 B 的映射是一种对应关系 任给α A,存在惟一的 β B,使得 β=φ(α)

映射是更广意义之下的函数

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正确与不正确的映射

正确

不正确

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眏射的分类

单射：A中两个不同元素的像在B中也不同

1 , 2 A, 1 2 ( 1 ) ( 2 ) 1 , 2 A, ( 1 ) ( 2 ) 1 2

满射：B中每个元素都有A中元素与之对应

B, A, ( ) 一一或双射：单射+满射(从而存在逆映射)

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讨论：单射或是满射 三角函数 三角函数 线性函数

sin x tan x ax+b原像集A与像集B 未说清楚之前， 讨论映射的性质 没有多大意思

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映射

相等： 集合A到B的两个映射φ与ψ 称为相等的当且 仅当 α A 都有 φ(α)= ψ(α), 记做 φ = ψ.

合成：若 φ 是集合A到B的映射, ψ 是集合B到C的映射,则定义映射 φ与ψ 的合成 ψφ 为集合A到C的映射

且

α A, ( )(α) ( (α))

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逆映射—反函数

逆：设φ是A到B的双射，定义B到A的映射ψ 如下：对任一β B,取β在映射φ下的原像 α B记为α=ψ(β)。这样就定义了一个映射， 因φ是双射的，故ψ是B到A的映射。显然它也 是一个双射, 且ψφ=idA,则称ψ为φ的逆映射

,记为ψ=φ 1, 显然φψ=idB 。

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双射

命题 设φ是集合A到B的映射, 如果存在B到A的映 射ψ ,使得ψφ=idA ,则φ是一个双射, 且φψ=idB 。

命题 双射的合成是双射.

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线性映射—保持线性性不变

定义 设V, W是P上的线性空间, φ 是V到W的映射, 且满足下列条件 α1 , α2 V, (α1 α2 ) (α1 ) (α2 ) α V, k P, (kα) k (α)

则称 φ 是V到W的线性映射. V到V上的线性映射称为V上的线性变换. V到P上的线性映射称为V上的线性函数.

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线性映射的例子线性空间V到W上的0映射. 线性空间V上的恒等变换 I 线性空间V上

数量变换或纯量变换 k I . 线性空间Pn定义的矩阵向量乘法 V= (0, 1)上可微函数全体, 定义映射为微商 V= (0, 1)上可积函数全体, 定义映射为积分

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例：投影变换与嵌入变换

V1, V2是V的子空间, V= V1 V2 . 对i =1, 2, 定义

Ai : V Vi , B1 : V1 V, B2 : V2 V,

α1 α2 α1 α2

αi

α1 0 0 α2

则 Ai, Bi 是线性变换, 且满足

A j Bi ij I Vi ,

B1A1 B2 A 2 I V .

称 Ai 为投影变换, Bi 为嵌入变换.

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线性映射

单线性映射 若线性映射 φ: V W 作为映射是单射的, 则称φ为单线性映射.满线性映射 若线性映射 φ: V W 作为映射是满射的, 则称 φ 为满线性映射.

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线性映射

命题 设 φ: V W 是的线性映射, 则

1) (0 ) 0, 2) α1 , α2 V / P, k1 , k2 P,

(k1α1 k2α2 ) k1 (α1 ) k2 (α2 )

线性映射保持向量的加法与数量乘法的线性性

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α1 , α2 ,..., αm 线性相关

(α1 ), (α2 ),..., (αm )线性相关

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1 , 2 , ..., m线性无关

( 1 ), ( 2 ), ..., ( m )线性无关

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单射

i=1 ki im

( ) i=1 ki ( i )m

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单射

1 , 2 , ..., m线性无关

( 1 ), ( 2 ), ..., ( m )线性无关