机器人 速度运动学

《机器人原理与应用》

第五章速度运动学授课教师：闻时光东北大学人工智能与机器人研究所

2011/7/4

第五章速度运动学

本章将进一步讨论运动的几何学及与时间有关的量，即讨论机器人的速度运动学问题。速度运动学问题重要是因为操作机不仅需要达到某个 (或一系列的)位置，而且常需要它按给定的速度达到这些位置。主要内容： 5.1操作机的微分移动 5.2微分转动的两个定理 5.3微分算子 5.4雅可比矩阵及其变换 5.5雅可比矩阵的力学意义

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第五章速度运动学

5.1操作机的微分移动所谓微分运动指的是无限小的运动，即无限小的移动和无限小的转动。它既可以用指定的当前坐标系来描述，也可以用基础坐标系来描述。对于微分移动(平动)的齐次变换矩阵T可表示为 1 0 Trans (dx, dy, dz )= 0 0 0 1 0 0 0 dx 0 dy 1 dz 0 1

式中 dx, dy, dz是微分位移矢量在基础坐标系或当前坐标系的分量。2011/7/4 3

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5.2微分转动的两个定理 若绕x轴转微小θ角表示为δ x,并考虑，sinδ x=δ x cosδ x= 1则对x,y,z多轴微分转动的齐次变换矩阵R应该有如下形式： 1 0 0 1 Rot ( x,δ x )= 0δ x 0 0 0 δ x 1 0 0 0 0 1

1 0 Rot ( y,δ y )= δ y 0 δ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0δy 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1

1 δ Rot ( z,δ z )= z 0 0

z

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第五章速度运动学

1 δ z δδ+δ 1 δ xδ yδ z z x y Rot ( x,δ x ) Rot ( y,δ y ) Rot ( z,δ z )= δ y+δ xδ zδ yδ z+δ x 0 0

δy δ x 1 0

0 0 0 1

1 δ= z δ y 0

δ 1δx 0

z

δy δ x 1 0

0 0 0 1

上面的近似等式是在略去二阶与三阶无穷小量的条件下获得的。

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第五章速度运动学

定理1绕任意单位向量 K=[K x, K y, K z]T转动δθ的微分转动等δδ效于绕轴x,y,z的3个微分转动δ x, y, z,并有_

δ x= K xδθ

δ y= K yδθ

δ z= K zδθ

于是总的转动微分 Rot ( K,δθ )可由如下的齐次矩阵描述 Rot ( K,δθ )= Rot ( x,δ x ) Rot ( y,δ y ) Rot ( z,δ z ) 1 Kδθ= z K yδθ 0 K zδθ 1 K xδθ 0 K yδθ K xδθ 1 0 0 0 1 0

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第五章速度运动学

定理2

微分转动与微分转动的次序无关0 δ x 1 0δ xδ y 1δx 0

证明：取以下的两个相继微分转动，则有 1 0 0 1 Rot ( x,δ x ) Rot ( y,δ y )= 0δ x 0 0 1 0 Rot ( y,δ y ) Rot ( x,δ x )= δ 0

y

0 1 0 0 0

δ y 1 0δ y 0 δ x 0 1 0 0 1

0δy 1 0 0 1 0 0

0 1 0 δ xδ y = 0 δ y 1 0

0 1δx 0

δy δ x 1 0

0 0 0 1

略去二阶无穷小量后得：Rot ( x,δ x ) Rot ( y,δ y )= Rot ( y,δ y ) Rot ( x,δ x )2011/7/4 7

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5.3微分算子已知坐标系下操作机的手部位姿可用齐次矩阵T来描述，经过微分运动后变为T+dT。应用相对于基础坐标系的左乘法则，T+dT可以表示为：

T+ dT= Trans (dx, dy, dz ) Rot ( K, dθ )T得

dT=[Trans (dx, dy, dz ) Rot ( K, dθ ) I]T 0 δ= z -δ y 0 δ z 0δx 0δy -δ x 0 0 dx dy dz 0

定义微分算子 = Trans (dx, dy, dz ) Rot ( K, dθ ) I

得2011/7/4

dT= T

第五章速度运动学 0 1 T= 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 5 2 , 0 1

例：设操作机的位姿为

求先实施转动 Rot (x,0.1),再实施移动 Trans (1,0,0.5)的微分运动dT,以及其后操作机的新位姿T+dT。

δδ解：由于δ x=0.1,dx=1; y=0,dy=0; z=0,dz=0.50 1 0 0 0 0 0.1 0 = 0 0.1 0 0.5 0 0 0 0

由定义式得：

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则

0 1 0 0 0 0 0 0.1 0 1 dT= T= 0 0.5 0 0 0.1 0 0 0 0 0

0 0 1 0

1 0 0 0

5 0 0 2 0 0.1 = 0 0.1 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0.7 0 0

操作机实施微分运动后的新位姿为： 0 1 T+ dT= 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 5 0 0 2 0 0.1 + 0 0.1 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 0.1 = 0 0.7 0.1 1 0 0 0 0 1 6 0 2 0 0.7 0 1

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第五章速度运动学

5.4雅可比矩阵及其变换5.4.1雅可比矩阵考虑操作机的手爪位姿 r和关节变量θ的关系用正运动 r学方程= f (θ )表示的情况。对于6关节的操作机 r= f (θ ),有

r1= f1 (θ1,θ 2 ....θ 6 ),……,r6= f 6 (θ1,θ 2 ....θ 6 )

dθ dr=J dt dt到基坐标速度的变换。2011/7/4

f (θ1,θ 2, θ 6 ) J= θ T

J即为著名的雅可比矩阵。通过 J可以实现从关节速度

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f1 f1 θ θ 展开为： J= 1 2 f 6 f 6 θ θ 2 1

f1 θ 6 = J ij f 6 θ 6

[]

6× 6

f i J ij= θ j

同样对于m×n维的空间的机器人，其雅可比矩阵 f1 f1 θ θ 2 1 J= f m f m θ θ 2 12011/7/4

f1 θ n = J ij f m θ n

[]

m× n

ωn

第五章速度运动学

雅可比矩阵的一

般形式：一般地,对于n个自由度的机械手末端手爪的角速度和线速度，在基坐标系中的描述记为ωn,ν n。如果写成一个向量

ν n x= ωn 具体的推导结果可表示为一个雅可比矩阵形式

x= J (Θ)Θ其中,Θ为n×1的机械手关节(旋转或平移关节)的位移向量。雅可比矩阵J(Θ)表明了机械手关节速度与末端(手爪)直角坐标速度之间的线性变换关系。2011/7/4 13

第五章速度运动学

5.4.2雅可比逆矩阵当机械手有六个自由度时,雅可比矩阵J(Θ)为6×6方阵。如果 J(Θ)可逆,那末只要给定机械手末端的直角坐标速度,就可以求得相应的关节速度

= J 1 (Θ) x Θ但是,雅可比矩阵J(Θ)是 …… 此处隐藏：2586字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……