刘鸿文 材力课件 第二章 轴向拉伸与压缩及剪切二

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§2-8 轴向拉伸或压缩时的变形 一、轴向拉压杆的变形1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。

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分析两种变形 轴向变形： L= L1 - L , 1、轴向变形

LL1

L 轴向线应变： (1)轴向线应变： ε = L 虎克定律: (2)虎克定律:在弹性范围内, (当σ ≤ σ p 时)

ε= l l

σE

b1

b

σ=

FN A

ε=

a1 a

FN L L = EA

虎克定律的另一种表达方式) (虎克定律的另一种表达方式)

EA-抗拉(压)刚度 抗拉( 伸长为正， l-伸长为正，缩短为负

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L2、横向变形： 横向变形：

a = a1 a,

b = b1 b

L1b1

横向线应变： ′ = 横向线应变 ε 在弹性范围内： 在弹性范围内：

a a

b = b

b

µ =

ε ′ ε

→

ε ′ = µε

a1 a

横向变形系数(泊松比) 横向变形系数(泊松比):

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二、以切代弧法求计算节点位移 以切代弧法求计算节点位移一)、分析受力确定各杆的内力 FNi )、分析受力确定各杆的内力 A L1 L2 C l2

B 二)、求各杆的变形量△li; )、求各杆的变形量△ 求各杆的变形量 三)、画节点位移图求节点位移 )、画节点位移图求节点位移

l1FC1

以垂线代替图中弧线。 以垂线代替图中弧线。CC ' ' 就是 点的近似位移。 就是C点的近似位移 点的近似位移。

C2

C ''C'

FN 1C

FN 2

就是C点的节点位移图。 就是 点的节点位移图。 点的节点位移图

变形

F

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例题： 组成。 例题： 图所示杆系由两根钢杆 1 和 2 组成。已知杆端铰 的角度， 接，两杆与铅垂线均成 α= 300 的角度，长度均为 l=2m, , 直径均为 d=25mm,钢的弹性模量为 E=210GPa。设在点 ， 。 处悬挂一重物 P=100kN,试求 A点的位移 A。 , 点

B

C

1

α α

2

A

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列平衡方程， 解： 列平衡方程，求杆的轴力

= ∑x = 0 N2 sinα N1sinα 0 + ∑y = 0 N1cosα N2 cosα P = 0yα α

P N1 = N2 = 2cos α

B

C

N2

1

α α

2

xA

A

P

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两杆的变形为

N1l Pl l1 = l2 = = EA 2EAcos α

(伸长) 伸长)

变形的几何条件相容是，变形后，两杆仍应铰结在一起。。 变形的几何条件相容是，变形后，两杆仍应铰结在一起。。

B

C

B 1α α

C 2

1

α α

2

A

A

A"

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以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A″,即 为A点的新位置。AA″ 就是A点的位移。 点的新位置。AA″ 就是A点的位移。

B 1α α

C 21 A 2 α α

l 1A1

A2A

A"A"

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因变形很小， 分别做两杆的垂线， 因变形很小，故可过 A1,A2 分别做两杆的垂线，相交于 A′ 可认为

AA' = AA"

B 1α α

C 21 A 2 α α

A2A

A1

A"A'

A"

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Pl l1 = A = AA' = cos α 2EAcos2 α所以

πd2 A=

4

m A = 0.001293m = 1.293m (↓)

B 1α α

C 21 A 2 α α l 1

A2A

A1

A"A'

A"

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例题

图示三角形架 AB 和 AC 杆的弹性模量 E=200GPa, ,

求当 P=130KN 时节点的位移。A1=2172mm2,A2=2548mm2。 时节点的位移。

B1

2m

300

A

C

2

P

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解：由平衡方程的两杆的轴力

B1

2m

N1 = 2PC2

300

A

N2 = 1.732Py 杆受拉， 1 杆受拉，2 杆受压 。N1300

P

A P

N2

x

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AA1= l1 = AA2= l 2 =

N1 l1 = 1.198mm EA1 N2 l 2 = 0.765mm EA2

B1

2m

300

A A2 l 2 P

C

2

l 1A1

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为所求A AA3 为所求A点的位移

B1

2m

A2 A′ = A2 A+ AA′ l1 cos 300 A2 A′ A2 A3 = tg300 = l2 + l2 l1 = + tg300 sin 300300

A A2 l 2 P

C

2

l 1A1

A2

A

l 2

A’

l 1

300

A1

AA3 = ( AA2) + ( A2 A3)2

2

300

= 3.78mmA3

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一等直杆受自重及集中力P作用 作用。 补充题 ： 一等直杆受自重及集中力 作用。杆的长 度为l,横截面面积为A,材料的容重为γ 度为 ，横截面面积为 ，材料的容重为γ,弹性模量 重对强度的影响， 为E,许用应力为 σ]。试分析杆的自重对强度的影响， ,许用应力为[σ 。试分析杆的自重对强度的影响 并求杆的伸长。解： N(x)=P+ γAx Nmax=P+ γAlm mN(x) P+ γAl

lm γAx m

+x

P P P

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P+ γAx

Nmax=P+ γAl 强度条件为m m

N(x)

lm γAx m

+x

P +γ l ≤ [σ ] A或

P P P

P A≥ [σ ] γ l

可见， 与材料的[σ 相比很小 相比很小， 可见，若杆的 γl 与材料的 σ]相比很小，则杆的自重影 响很小，可略去不计。 响很小，可略去不计。