混沌时间序列的区间预测

时间：2026-01-26

混沌时间序列的区间预测

第31卷第2期

上海交通大学学报

JOURNALOFSHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITY

Vol.31№21997

混沌时间序列的区间预测

叶中行　　龙如军

(应用数学系)

摘　要　讨论混沌时间序列的区间预测,,并应用于实例,取得较好效果.

关键词　混沌;嵌入;相空间;区间预测;奇异吸引子中图法分类号　O234

,且具有分维的特征.自然科学包括化学、物理、,例如:化学系统中浓度的变化,流股票市场中股票价格的变化等等.纯粹数学家感兴趣的是混沌吸引子的拓扑结

构,而应用科学家感兴趣的是一个观测到的动态系统是否具有奇异吸引子以及动态系统将来的行为.显然后者具有非常重要的实用价值.混沌的动态系统具有确定性规则.如果能发现这个确定性规则,那么精确预测非线性动态系统将成为可能,但这往往是比较困难的,因此代之以以下的方法.把动态系统中所观测到的某信号值的变化记成一个时间序列:x1,x2,x3,…,xn,…(下标表示某个单位时间Σ的整数倍),如果所观测到的动态系统呈混沌状态,且已知x1,x2,…,xN,如何建立恰当的动态模型来预测xN+1呢?

[1]n

.Packard等[2]建议用原始系Whitney建立了m维可微流形嵌入到R(只要n≥2m)中的嵌入定理

统中某变量的延迟坐标来重构状态空间.Takens[3]证明了如果延迟坐标向量的维数n≥2m+1,则延迟

坐标向量的表达是在欧氏空间Rn中的微分同胚.从而为混沌时间序列的预测奠定了坚实的理论基础.以Packward等人的模型为基础,Farmer和Sidorowich[4]提出用局部近似方法来作时间序列的预测.但在他们的方法中,存在着一些未定的因素(如嵌入维数d,延迟时间Σ及相似历史数据的取法),而且由模拟确定性规则所带来的误差是不可避免的.本文则从另一角度出发,不是预测某一时刻的信号值,而是预测其取值区间.着重研究两个问题:①寻找最优嵌入维数的算法;②探讨区间预测的理论和算法.区间预测的思想避免了模拟确定性的混沌规则,在实际应用中,取得了较好的效果.

1　相空间重构的理论基础

20世纪80年代,Packard等人为了探测流体中湍流行为的奇异吸引子的本质,研究了相空间重构

问题,并且建议用原始系统某个变量的延迟时间坐标重构相空间.有如下三阶常微分方程:

ααα(1)x=-(y+z),　y=x+0.2y,　z=0.4+xz-5.7z

其典型的相空间是(x(t),y(t),z(t))(见图1[2]),Packart等人发现用系统中某个坐标的延迟时间向量作为三维空间的基向量,所描绘的微分动力系统的吸引子的结构非常相似(见图2[2]),虽然有些扭曲,毕竟(x(t),x(t-Σ),x(t-2Σ))不同于(x(t),y(t),z(t)),它已经比较好地反映了系统的某些渐进性质.　　对于Packard等人的建议,Takens从理论上给出了证明.

),(N1,Θ定义1　设(N,Θ:N→N1满足:①Υ是满射:②Θ(x,1)是两个度量空间,如果存在映射Υ

),(N1,Θ.1(Υ1)是等距同构的y)=Θx,Υy)(Πx,y∈N),则称(N,Θ

定义2　如果(N1,Θ1)与另一个度量空间(N2,Θ2)的子空间(N0,Θ2)是等距同构的,则称(N1,Θ1)

可以嵌入(2,Θ2).

收稿日期:1996201229

3攀登计划和国家自然科学基金资助项目.第一作者:男,1946年生,教授.上海,200030.

混沌时间序列的区间预测

8上　海　交　通　大　学　学　报1997年　第2期

定理1　(Takens)M是m维流形,Υ:M→.y:

M→R,y有二阶连续导M,Υ是一个光滑的微分同胚

(x)),则<(Υ,y)是M到R2m+1的一个嵌入数.<(Υ,y):M→R2m+1,其中<(Υ,y)(x)=y(x),y(Υ(x)),…,y(Υ.

证明　见文献[3].