教学点睛

1.在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.

2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.

拓展题例

【例1】 已知a、b为正数，求证：

（1）若a+1＞b，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+

xx 1

xx 1

＞b成立；

＞b成立，则a+1＞b.

分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：①证明过程中代入条件；②由条件变形得出要证的不等式.

证明：（1）ax+

xx 1

=a（x－1）+

1x 1

+1+a≥2a+1+a=（a+1）2.

∵a+1＞b（b＞0），∴（a+1）2＞b2. （2）∵ax+而ax+

xx 1

xx 1

＞b对于大于1的实数x恒成立，即x＞1时，［ax+

1x 1

xx 1

］min＞b，

=a（x－1）+

1

+1+a≥2a+1+a=（a+1）2，

1a

当且仅当a（x－1）=

x 1

，即x=1+＞1时取等号.故［ax+

xx 1

2

］min=（a+1）.

则（a+1）2＞b，即a+1＞b.

评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除. 【例2】 求证：

|a b|1 |a b|

≤

|a|1 |a|

+

|b|1 |b|

.

x

剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=证明：令f（x）=

x1 x

1 x

（x≥0）的单调性.

（x≥0），易证f（x）在［0，+∞）上单调递增.

|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）， 即

|a b|1 |a b|

≤

|a| |b|1 |a| |b|

=

|a|1 |a| |b|

|b|1 |a| |b|

≤

|a|1 |a|

|b|1 |b|

.

思考讨论

1.本题用分析法直接去证可以吗?2.本题当|a+b|=0时，不等式成立； 当|a+b|≠0时，原不等式即为

1

11|a b|

|a|1 |a|

|b|1 |b|

≤

.

再利用|a+b|≤|a|+|b|放缩能证吗?读者可以尝试一下!