2010年大连市数学竞赛试题A

大连市第十九届高等数学竞赛试卷（A）

一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）

1．

__________

2．

__________

x 1 t2d23． y cost

，则y2 __________ dx

14． 设f(x)

1 e

x1，则x 0为f(x)的__________型间断点。

2 4e

x

5． 函数y y(x)由方程2y3 2y2 2xy x2 1所确定，则y y(x)的驻点为

__________

6． 幂级数 anxn在x 2处条件收敛，则此级数的收敛半径为__________

n 0

7． 已知L:x2

y2xdy4 1，逆时针方向，则 4ydx

2 __________ L

x y28． 曲线y e x2

的凸区间为__________

9． 在曲线x t,y t2,z t3的所有切线中，与平面x 2y z 4平行的切线只有

__________条

10．

2

x

dx 3x

fdy化为极坐标系下的先对 后对 的二次积分为

__________

二、（本题

8分）已知x 0

2，求limf(x).

x 0

三、（本题9分）设f(x)在区间( , )内可导。求证：在( , )内,f(x)以

T为周期的充要条件为f'(x)的周期为T且f(0) f(T)。

考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 共 三 页 第 1页

四、 （本题8分）设f(x)

x

1

t|t|dt(x 1)，求f(x)与x轴所

围成的封闭图形D的面积S及D绕x轴旋转一周所成的旋转

体的体积V。

222222

D (x,y)|x y 4,y 0 五、（本题9分）求函数在区域f(x,y)

x 2y xy 上的最大值和最小值。

x eu六、（本题8分）通过 e

,变换方程 yv

2x2

z2 x2 xy z22

x y y2 z y2

0

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七、（本题10分）设u1 1,u2 2,n 3时，un un 1 un 2。求证：

3

（1）un 1 un 2un 1；

2

（2） 1

收敛。

n 1un

八、

（本题8分）求下列曲面积分333

，

其中 为曲线

z z轴旋转一周所成的曲面

y 0

的上侧。

九、（本题10分）设函数f(x)在[a,b]上连续,且单调增加,求证:

b

a

a bb

xf(x)dx f(x)dx。 a2

十、（本题10分）设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导,且试证：在(a,b)内至少存在一点 ，使f"( )=0。 f(a) f(b)，f '(a)f '(b) 0，

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