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配套K12学习（小初高）

配套K12学习（小初高） 第8讲 不等式选讲

1．解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.

解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.

解得x ≤－5或x ≥－13

. 综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪

⎪⎪x ≤－5或x ≥－13. 2．若a 、b 、c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c

＝1，求a ＋2b ＋3c . 解：a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.(当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32

，c ＝1时等号成立) 3．已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜518

. 证明：因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，由题设知|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16

， 从而3|y |＜23＋16＝56，所以|y |＜518

. 4．(2019·常州模拟)已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )·(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2

. 证明：因为a >0，b >0，

所以a 2＋b 2＋ab ≥33a 2·b 2·ab ＝3ab >0， ab 2＋a 2b ＋1≥33ab 2·a 2b ·1＝3ab >0，

所以(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.

5．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(六))已知函数f (x )＝2|x －1|－a ，g (x )＝

－|2x ＋6|，若函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12

g (x )的图象的上方，求实数a 的取值范围． 解：因为y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12g (x )的图象的上方，故f (x )－12

g (x )>0， 即a <2|x －1|＋|x ＋3|对任意的x ∈R 恒成立．

设h (x )＝2|x －1|＋|x ＋3|，

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配套K12学习（小初高） 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x ≤－35－x ，－3<x ≤13x ＋1，x >1

.

数形结合得当x ＝1时，h (x )取得最小值4.

故当a <4时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝12

g (x )的图象的上方， 即实数a 的取值范围为(－∞，4)．

6．(2019·苏锡常镇四市调研)求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值．

解：因为(1－x ＋3x ＋2)2

＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫3－3x ·13＋3x ＋2·12 ≤(3－3x ＋3x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝203

， 所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153

. 等号当且仅当3－3x 13

＝3x ＋21，即x ＝712

时成立． 所以y 的最大值为2153

. 7．(2019·镇江模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对任意a ，b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围．

解：若a ＝0，则不等式转化为2|b |≥0恒成立，此时x ∈R .

若a ≠0，由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )可得f (x )≤|a ＋b |＋|a －b ||a |

恒成立， 而|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |

＝2，所以f (x )≤2恒成立， 即|x －1|＋|x －2|≤2⇔⎩

⎪⎨⎪⎧x ≤13－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <21≤2 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥22x －3≤2⇔12

≤x ≤52. 由于不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对任意a ，b ∈R 恒成立，所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，52. 8．(2019·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(七))设a ，b ，c 为正数，求证：2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．

证明：因为a ，b ，c 为正数，所以a 2＋b 2≥2ab >0(当且仅当a ＝b 时等号成立)，

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配套K12学习（小初高） 所以a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2

)≥ab (a ＋b )，

同理b 3＋c 3≥bc (b ＋c )(当且仅当b ＝c 时等号成立)， c 3＋a 3≥ca (c ＋a )(当且仅当c ＝a 时等号成立)．

三式相加可得2(a 3＋b 3＋c 3)≥ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )，

又ab (a ＋b )＋bc (b ＋c )＋ca (c ＋a )＝a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )，

所以2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．

9．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求a 的取值范围． 解：由柯西不等式，

得(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.

由条件得，5－a 2≥(3－a )2，

解得1≤a ≤2，当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16

时，等号成立，代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2；代入b ＝1，c ＝23，d ＝1

3时，a min ＝1，所以a 的取值范围是[1，2]．

10．已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋1)≥0的解集为[0，1]．

(1)求m 的值；

(2)若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ，求证：ax ＋by ＋cz ≤1. 解：(1)因为f (x ＋1)≥0，所以|x |＋|x －1|≤m .

当m ＜1时，因为|x |＋|x －1|≥1，所以不等式|x |＋|x －1|≤m 的解集为∅，不符合题意．

当m ≥1时，

①当x <0时，得x ≥1－m 2，所以1－m 2

≤x <0. ②当0≤x ≤1时，得x ＋1－x ≤m ，即1≤m 恒成立．

③当x >1时，得x ≤m ＋1

2，所以1<x ≤m ＋1

2.

综上，|x |＋|x －1|≤m 的解集为

⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1－m 2

≤x ≤m ＋12. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m 2=0

m ＋12=1所以m ＝1.

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(2)证明：因为x2＋a2≥2ax，y2＋b2≥2by，z2＋c2≥2cz，所以a2＋b2＋c2＋x2＋y2＋z2≥2(ax＋by＋cz)．

由(1)知x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝1，所以2(ax＋by＋cz)≤2，所以ax＋by＋cz≤1.

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