2.5 线性定常系统的脉冲响应矩阵

1、脉冲响应矩阵

线性定常系统在零初始条件下其输入输出关系可用系统的单位脉冲响应矩阵描述。

定义：设系统具有p个输入、q个输出，则脉冲响应矩阵为q×p矩阵，即：

g11(t τ)g12(t τ) g(t τ)g(t τ)2122 G(t τ)= MM gq1(t τ)gq2(t τ)Lg1p(t τ)

Lg2p(t τ) LM

Lgqp(t τ)

且

G(t τ)=0 τ和 t<τ

式中，gij(t τ)表示在第j个输入端施加单位脉冲函数

而其它输入为零时、在第i个输出端得到的响应函数。

δ(t τ)

系统的输出输入关系：

y(t)=∫G(t τ)u(τ)dτ

t

t≥t0

t0

引入变量置换，令

t τ=τ'

y(t)=

∫

ttG(τ)u(t τ)dτ

习惯做法，取初始时刻t0=0

y(t)=∫t

G(t τ)u(τ)dτ

2 、脉冲响应矩阵和状态空间描述

讨论脉冲响应矩阵G(t τ)与

状态空间描述状态转移矩阵

t≥t0

t≥0

之间的关系

线性定常系统

& (t )= Ax (t )+ Bu(t ) x y (t )= Cx (t )+ Du(t )

x (t0 )= x0,

t≥ t0

输出响应表示为

y (t )= Cx(t )+ Du(t )

= Ce

A( t t0 )

x0+∫ Ce A(t τ ) Bu(τ )dτ+ Du(t )t0 t

t

定义脉冲响应矩阵时，假定系统具有零初始状态 x 0= 0

y(t )=∫ Ce B+ Dδ (t τ ) u(τ )dτ=∫t0 G (t τ )u(τ )dτ t0 A ( t τ ) B+ Dδ (t τ )脉冲响应矩阵为 G (t τ )= CeA( t τ )

t

或

G (t )= C e A t B+ Dδ (t )

At考虑到 e A( t τ )=Φ (t τ )和 e=Φ (t )

G (t τ )= CΦ (t τ ) B+ Dδ (t τ )

G ( s)= CL[Φ(t )] B+ D

G (t )= CΦ(t ) B+ Dδ (t )2011-11-21

G ( s )= C ( sI A) 1 B+ D3

第二章线性控制系统的运动分析

x (t )=Φ(t t0 ) x (t0 )+∫Φ(t τ ) Bu(τ )dτt0

t

Φ (t )= e A t

2.6线性时变系统状态方程的解电路系统电阻R随温度 t发生变化；

e At= L 1[( sI A) 1]

线性时变系统客观存在，研究具有重要意义。火箭控制系统燃料消耗使其质量m随时间 t发生变化等。 线性时变系统状态空间描述：

A(t )∈ R n×n

x(t )∈ Rn

B(t )∈ Rn×r

y(t )∈ Rm

& (t )= A (t ) x (t )+ B (t ) u (t ) x y (t )= C (t ) x (t )+ D (t ) u (t )C (t )∈ R m× nD (t )∈ R m× r第二章线性控制系统的运动分析

u(t)∈Rr

2011-11-21

2.6.1线性时变系统齐次状态方程的求解时变系统齐次状态方程齐次一阶微分方程分离变量法求解一阶微分方程

& (t )= A(t ) x (t ) x& (t )= a(t ) x(t ) x& (t ) x= a (t ) x (t )

dx(τ ) t dτ=∫t0 a(τ )dτ∫ x(τ )t t0

x(t ) t=∫t0 a(τ )dτ ln x(t0 )

x

(t )= e

∫t0 a (τ )dτ

t

x(t0 )t

x (t )= e

∫t0 A(τ )dτ

t

x (t0 )

A(t)与∫t0 A(τ )dτ满足矩阵乘法可交换条件2011-11-21第二章线性控制系统的运动分析 5

A(t)与∫t0 A(τ )dτ满足矩阵乘法可交换条件：t

A ( t )∫t 0 A (τ )dτ=[∫t 0 A (τ )dτ] A ( t )t t

∫ A ( t ) A (τ ) A (τ ) A ( t ) dτ= 0t t0

矩阵乘法可交换条件：对任意的时间t1和t2满足：

A ( t1 ) A ( t 2 )= A ( t 2 ) A ( t1 )时变系统齐次状态方程的解

x (t )= e状态转移矩阵为2011-11-21

t∫t 0 A (τ )dτ

x (t 0 )

Φ (t, t0 )= e

t∫t 0 A (τ )dτ

第二章线性控制系统的运动分析

证明：设et

思路：∫t0 A (τ )dτ

结论

——>条件

x (t0 )是时变齐次状态方程的解，则

t t d∫t0 A (τ )dτ∫t 0 A (τ )dτ&= x[e x ( t 0 )]= A ( t ) x ( t )= A ( t )[ e x ( t 0 )] dt t 2 k 1 t 1 t∫t0 A (τ )dτ t e= I+∫t0 A(τ )dτ+∫t0 A(τ )dτ+ L+∫t0 A(τ )dτ+ L 2! k!

[

]

[

]

对上式求导数，得：

d∫tt0 A (τ )dτ 1 t t A ( t )∫t 0 A (τ )dτ+∫t 0 A (τ )dτ A ( t )+ L[e]= A (τ )+ dt 2! 1 t t k 1+ A ( t )[∫t 0 A (τ )dτ]+ L+[∫t 0 A (τ )dτ] k 1 A ( t )+ L k!

[

]

[

]

& (t )= A(t ) x(t ) x比较得：2011-11-21

k 2 1 t 1 t t= A(t ) I+∫t0 A(τ )dτ+∫t0 A(τ )dτ+ L+∫t0 A(τ )dτ+ L x (t0 ) 2! k!

[

]

[

]

A ( t )∫t 0 A (τ )dτ=[∫t 0 A (τ )dτ] A ( t )t t第二章线性控制系统的运动分析 7

Φ (t, t 0 )= et t0

t∫t0 A (τ )dτ

状态转移矩阵

1 t 1 t 2= I+∫ A (τ )dτ+[∫t 0 A (τ )dτ]+ L+[∫t 0 A (τ )dτ] k+ L k! 2!注意：一般时变系统的状态转移矩阵难以得到封闭形式。[例2.6]:系统的状态方程为& (t )= A (t ) X (t ) X 0 其中， A ( t )= 0 1 ( t+ 1) 2 0

0 求当 t 0= 0, X ( t 0 )= 时，状态方程的解。 1 1 1 0 0 2 解：A(t1 ) A(t 2 )= (t1+ 1) (t1+ 1) 2 = 0= A(t 2 ) A(t1 ) 0 0 0 02011-11-21第二章线性控制系统的运动分析 8

∫ A(τ )dτ满足矩阵乘法可交换条件。 1 0 (τ+ 1) dτ= 0∫ (τ= ( ) Aτ dτ∫∫ A(t)与t

t

t0

t

t

2

t0

t0

t0

0

0 = 0注意：t

0 1 1 + ( t+ 1) ( t 0+ 1) = 0

0

1 dτ 2+ 1) 0

0 0

t t0 ( t+ 1)( t 0+ 1) 0

A ( t )∫t 0 A (τ )dτ= 0t

Φ (t, t0 )= e

∫t0 A (τ )dτt t0

2 1 t 1 t= I+∫ A (τ )dτ+ A (τ ) dτ+ L+∫t 0∫t 0 A (τ )dτ 2! k! t t0 t t0 1 0 0 1= + ( t+ 1)( t 0+ 1) = ( t+ 1)( t 0+ 1) 0 1 0 0 0 1 2011-11-21第二章线性控制系统的运动分

析

[

]

[

]

k

+L

x (t )=Φ (t, t 0 ) x (t0 )= exp(∫ A (τ )dτ ) x ( t 0 )= et t0

∫t0Α (τ )dτ

t

x (t 0 )

t t0 1= ( t+ 1 )( t 0+ 1 ) x ( t 0 ) 0 1 …… 此处隐藏：3993字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……